Soal dan Pembahasan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

         Sistem Persamaan Linear (SPL) adalah kumpulan persamaan linear yang mempunyai solusi (atau tidak mempunyai solusi) yang sama untuk semua persamaan. Sistem Persamaan yang akan kita bahas adalah sistem persamaan linear dua variabel, sistem persamaan linear tiga variabel, sistem persamaan linear dan kuadrat, dan sistem persamaan kuadrat dan kuadrat. Untuk artikel kali ini kita akan bahas tentang sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).

Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

       Adapun bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel dengan variabel $ x \, $ dan $ y $
                     SPLDV : $ \left\{ \begin{array}{c} a_1x+b_1y = c_1 \\ a_2x+b_2y = c_2 \end{array} \right. $
Keterangan :
*). Variabelnya $ x $ dan $ y $
*). Koefisiennya $ a_1,b_1,a_2,b_2 \in R $
*). Konstantanya $ c_1,c_2 \in R $

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

       Penyelesaian SPLDV dapat dilakukan dengan beberapa cara yaitu :
i). Metode grafik
ii). Metode Substitusi
iii). Metode Eliminasi
iv). Metode Eliminasi-Substitusi (Gabungan)

i). Metode grafik

       Solusi atau penyelesaian SPLDV metode grafik adalah titik potong kedua grafik. Metode grafik yang dimaksud adalah kita harus menggambar grafiknya (berupa garis lurus). Untuk materi menggambar garis lurus, silahkan baca artikel "Persamaan Garis Lurus dan Grafiknya"
Langkah-langkah:
*). Gambar grafik kedua persamaan
*). Ada tiga kemungkinan gambar grafiknya:
1). Sejajar

       Garis $k$ dan $m$ sejajar dan tidak berpotongan, dakam keadaan ini SPLDV tidak mempunyai penyelesaian. SPLDV tidak mempunyai penyelesaian dengan syarat: $ \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $ .

2). Berimpit

       Garis $k$ dan $m$ berimpit (menyatu), dakam keadaan ini SPLDV mempunyai penyelesaian banyak (tak hingga atau tak trivial) karena setiap titik pada garis memenuhi kedua persamaan. Hal ini terjadi dengan syarat: $ \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $ .

3). Berpotongan

       Garis $k$ dan $m$ berpotongan di titik A, dalam keadaan ini SPLDV mempunyai tepat satu penyelesaian (trivial) atau solusi yaitu titik A. Hal ini terjadi dengan syarat: $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $ .

Contoh
1). Tentukan Penyelesaian SPLDV berikut :
$ \left\{ \begin{array}{c} x + y = 3 \\ 3x + 3y = 6 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
garis $ k : \, x + y = 3 \rightarrow $ melalui titik (0,3) dan (3,0)
garis $ m : \, 3x + 3y = 6 \rightarrow $ melalui titik (0,2) dan (2,0)

Kedua garis sejajar dan tidak berpotongan, sehingga tidak ada solusi yang memenuhi SPLDV tersebut.

2). Tentukan Penyelesaian SPLDV berikut :
$ \left\{ \begin{array}{c} 2x - y = 3 \\ 6x - 3y = 9 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
garis $ k : \, 2x - y = 3 \rightarrow $ melalui titik (0,-3) dan ($\frac{3}{2}$,0)
garis $ m : \, 6x - 3y = 9 \rightarrow $ melalui titik (0,-3) dan ($\frac{3}{2}$,0)

Garis $k$ dan $m$ berimpit, sehingga SPLDV tersebut mempunyai banyak penyelesaian (tak hingga).

3). Jika ($a,b$) memenuhi SPLDV berikut, tentukan nilai $ a + b $ ?
$ \left\{ \begin{array}{c} x - 2y = 6 \\ 3x + 2y = 6 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
garis $ k : \, x - 2y = 6 \rightarrow $ melalui titik (0,-3) dan (6,0)
garis $ m : \, 3x + 2y = 6 \rightarrow $ melalui titik (0,3) dan (2,0)

Jadi solusinya titik A (3, -1.5), sehingga $a=3$ dan $b=-1,5$.
Sehingga nilai $ a + b = 3 + (-1,5) = 1,5 = 1\frac{1}{2} $
Jadi, nilai $ a + b = 1\frac{1}{2} $

4). Diketahui SPLDV berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} (a-1)x + y = 1 \\ 6x + 3y = 7 \end{array} \right. $
Agar SPLDV mempunyai tepat satu solusi, tentukan nilai $a$?
Penyelesaian :
Syarat mempunyai tepat satu solusi: $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $
Sehingga $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \rightarrow \frac{a-1}{6} \neq \frac{1}{3} \rightarrow 3(a-1) \neq 6 \rightarrow a \neq 3 $
Jadi agar mempunyai tepat satu solusi, nilai $a$ tidak boleh 3 ($a \neq 3$).

5). Diketahui SPLDV berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} (a-1)x + 3y = 0 \\ 2x + (a-1)y = 7 \end{array} \right. $
Agar solusi SPLDV di atas tidak hanya (0,0), tentukan nilai $ a^2 - 2a + 10 $ ?
Penyelesaian :
Solusi tidak hanya (0,0) , artinya banyak solusi.
Syarat banyak solusi: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $
Sehingga $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \rightarrow \frac{a-1}{2} = \frac{3}{a-1} \rightarrow (a-1)^2 = 6 \rightarrow a^2 - 2a + 1 = 6 \rightarrow a^2 - 2a = 5 $
Nilai $ a^2 - 2a + 10 = (a^2 - 2a ) + 10 = 5 + 10 = 15 $
Jadi, nilai $ a^2 - 2a + 10 = 15. $

ii). Metode Substitusi

       Langkah-langkah penyelesaian metode substitusi:
*). Nyatakan salah satu persamaan dalam bentuk $ y = ax + b \, $ atau $ x = cy + d $ .
*). Substitusikan $y$ atau $x$ pada langkah pertama ke persamaan yang lain.
*). Selesaikan peersamaan untuk memperoleh $ x = x_1 \, $ atau $ y = y_1 $ .
*). Substitusikan nilai $ x = x_1 \, $ atau $ y = y_1 \, $ ke salah satu persamaan untuk memperoleh nilai $ x = x_1 \, $ atau $ y = y_1 $ .
*). Penyelesaian adalah $(x_1,y_1)$ .

Contoh
1). Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} x - y = 3 \\ 2x + 3y = 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
*). Ubahlah persamann (i), $ x - y = 3 \rightarrow x = y + 3 $
*). Substitusikan $ x = y + 3 $ ke persamaan (ii) ,
$ 2x + 3y = 1 \rightarrow 2(y+3) + 3y = 1 \rightarrow 5y + 6 = 1 \rightarrow y = -1 $
*). Substitusikan $y = -1 $ ke persamaan (i)
$ x - y = 3 \rightarrow x - (-1) = 3 \rightarrow x = 2 $
Jadi solusinya adalah (2, -1).

2). Diketahui SPLDV:
$ \left\{ \begin{array}{c} 2x + y = 4 \\ x + y = k \\ 3x + 2y = 7 \end{array} \right. $
Mempunyai penyelesaian, tentukan nilai $k$ ?
Penyelesaian :
*). SPLDV mempunyai penyelesaian, artinya nilai ($x , y$) memenuhi ketiga persamaan. Untuk memperoleh nilai ($x , y$), cukup menyelesaikan persamaan (i) dan (iii), kemudian substitusikan nilai ($x , y$) ke persamaan (ii) untuk memperoleh nilai $k$.
*). Ubah persamaan (i), $ 2x + y = 4 \rightarrow y = 4 - 2x $
*). Substitusikan $ y = 4 - 2x $ ke persamaan (iii),
$ 3x + 2y = 7 \rightarrow 3x + 2(4-2x) = 7 \rightarrow 3x + 8 - 4x = 7 \rightarrow x = 1 $
*). Substitusikan $x = 1$ ke persamaan (i),
$ 2x + y = 4 \rightarrow 2 . 1 + y = 4 \rightarrow y = 4- 2 = 2 $
*). Penyelesaian SPLDV adalah (1, 2), solusi ini juga terpenuhi untuk persamaan (ii):
$ x + y = k \rightarrow 1 + 2 = k \rightarrow k = 3 $
Jadi, nilai $ k = 3 $

iii). Metode Eliminasi

       Langkah-langkah penyelesaian metode eliminasi:
*). Samakan koefisien $x$ atau $y$ dengan cara mengalikan konstanta yang sesuai.
*). Jumlahkan (jika tanda kedua koefisien berbeda) atau kurangkan (jika tanda kedua koefisien sama) sehingga diperoleh $ x = x_1 \, $ atau $ y = y_1 $ .
*). Lakukan hal yang sama untuk variabel yang lainnya.
*). Penyelesaian adalah $(x_1,y_1)$ .

Contoh
1). Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} x + 2y = 1 \\ 3x - y = 10 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
*). Eliminasi variabel $ x $
$\begin{array}{c|c|cc} x + 2y = 1 & \text{kali 3} & 3x + 6y = 3 & \\ 3x - y = 10 & \text{kali 1} & 3x - y = 10 & - \\ \hline & & 7y = -3 & \\ & & y = -1 & \end{array} $
*). Eliminasi variabel $ y $
$\begin{array}{c|c|cc} x + 2y = 1 & \text{kali 1} & x + 2y = 1 & \\ 3x - y = 10 & \text{kali 2} & 6x - 2y = 20 & + \\ \hline & & 7x = 21 & \\ & & x = 3 & \end{array} $
Jadi, solusinya adalah (3, -1).

2). Sistem persmaan linear:
$ \left\{ \begin{array}{c} 2x - y = 4 \\ x - 2y = -1 \\ 2ax + 3by = 12 \end{array} \right. $
Mempunyai penyelesaian jika nilai $a + b$ sama dengan ...?
Penyelesaian :
Selesaikan pers(i) dan pers(ii)
*). Eliminasi variabel $ x $
$\begin{array}{c|c|cc} 2x - y = 4 & \text{kali 1} & 2x - y = 4 & \\ x - 2y = -1 & \text{kali 2} & 2x - 4y = -2 & - \\ \hline & & 3y = 6 & \\ & & y = 2 & \end{array} $
*). Eliminasi variabel $ y $
$\begin{array}{c|c|cc} 2x - y = 4 & \text{kali 2} & 4x -2 y = 8 & \\ x - 2y = -1 & \text{kali 1} & x - 2y = -1 & - \\ \hline & & 3x = 9 & \\ & & x = 3 & \end{array} $
*). Titik (3,2) adalah solusi dari persamaan (i) dan (ii) yang juga sebagai solusi persamaan (iii), substitusikan (3,2) ke persamaan (iii):
$ 2ax + 3by = 12 \rightarrow 2a.3 + 3b.2 = 12 \rightarrow 6a + 6b = 12 \rightarrow a + b = 2 $
Jadi, nilai $ a + b = 2 $

iv). Metode Eliminasi-Substitusi (Gabungan)

       Metode ini merupakan cara terbaik untuk menyelesaikan SPLDV dan yang paling sering digunakan.
       Langkah-langkah penyelesaian metode ini:
*). Eliminasi salah satu variabel (misalnya $x$) untuk memperoleh nilai variabel pertama (nilai $y$).
*). Substitusikan nilai variabel pertama yang diperoleh untuk menentukan nilai variabel lainnya.

Contoh
1). Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} 2x + 3y = 5 \\ 3x - 2y = 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
*). Eliminasi variabel $ y $
$\begin{array}{c|c|cc} 2x + 3y = 5 & \text{kali 2} & 4x + 6y = 10 & \\ 3x - 2y = 1 & \text{kali 3} & 9x - 6y = 3 & + \\ \hline & & 13x = 13 & \\ & & x = 1 & \end{array} $
*). Substitusikan $x = 1$ ke persamaan (ii) : $ 3x - 2y = 1 \rightarrow 3. 1 - 2y = 1 \rightarrow 3 - 2y = 1 \rightarrow y = 1 $
Jadi penyelesaiannya adalah (1,1).

2). Jika $a$ dan $b$ memenuhi $ \frac{3x+y+2}{x-y} = 2 \, $ dan $ \frac{x + 2y + 10 }{4x + y} = 3 $ , maka $a - b$ = ...?
Penyelesaian :
*). Sederhanakan kedua bentuk persamaan di atas:
pers(i): $ \frac{3x+y+2}{x-y} = 2 \rightarrow 3x+y+2 = 2x - 2y \rightarrow x + 3y = -2 $
pers(ii): $ \frac{x + 2y + 10 }{4x + y} = 3 \rightarrow x+2y+10=12x+3y \rightarrow 11x + y = 10 $
*). SPLDV menjadi :
$ \left\{ \begin{array}{c} x + 3y = -2 \\ 11x + y = 10 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
*). Eliminasi variabel $ y $
$\begin{array}{c|c|cc} x + 3y = -2 & \text{kali 1} & x + 3y = -2 & \\ 11x + y = 10 & \text{kali 3} & 33x + 3y = 30 & - \\ \hline & & -32x = -32 & \\ & & x = 1 & \end{array} $
*). Substitusikan $x = 1$ ke persamaan (i):
$ x + 3y = -2 \rightarrow 1 + 3y = -2 \rightarrow y = -1 $
*). Karena solusinya $x = 1$ dan $y = -1$ , maka $a = 1$ dan $b = -1$
sehingga nilai $ a - b = 1 - (-1) = 2 $
Jadi, nilai $ a - b = 2 $ .

3). Sistem persamaan (SP) berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = -1 \\ \frac{1}{x} + \frac{3}{y} = 7 \end{array} \right. $
mempunyai penyelesaian ($x_0,y_0$) , tentukan nilai $ 2x_0 + 6y_0 $ ?
Penyelesaian :
*). Misalkan : $ p = \frac{1}{x} \, $ dan $ q = \frac{1}{y} $ , SP menjadi:
$ \left\{ \begin{array}{c} 2.\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = -1 \\ \frac{1}{x} + 3.\frac{1}{y} = 7 \end{array} \right. \, \, \Rightarrow \, \, \left\{ \begin{array}{c} 2p + q = -1 \\ p + 3q = 7 \end{array} \right. $
*). Eliminasi variabel $ p $
$\begin{array}{c|c|cc} 2p + q = -1 & \text{kali 1} & 2p + q = -1 & \\ p + 3q = 7 & \text{kali 2} & 2p + 6q = 14 & - \\ \hline & & -5q = -15 & \\ & & q = 3 & \end{array} $
*). Substitusikan $q = 3$ ke persamaan (i) :
$ 2p + q = -1 \rightarrow 2p + 3 = -1 \rightarrow p = -2 $
*). Dari nilai $p = \frac{1}{x}$ dan $q=\frac{1}{y}$, diperoleh nilai $x$ dan $y$ berikut:
$ p = -2 \rightarrow \frac{1}{x} = -2 \rightarrow x = -\frac{1}{2} \rightarrow x_0 = -\frac{1}{2} $
$ q = 3 \rightarrow \frac{1}{y} = 3 \rightarrow y = \frac{1}{3} \rightarrow y_0 = \frac{1}{3} $
Sehingga nilai $ 2x_0 + 6y_0 = 2.(-\frac{1}{2}) + 6. \frac{1}{3} = -1 +2 = 1 $
Jadi, nilai $ 2x_0 + 6y_0 = 1 $