Turunan Fungsi Logaritma dan Eksponen

         Pada materi sebelumnya kita telah mempelajari "Turunan Fungsi Aljabar" dan "Turunan Fungsi Trigonometri". Untuk artikel kali ini kita akan membahas Turunan Fungsi Logaritma dan Eksponen yang tentunya akan lebih menarik. Dalam menentukan turunan fungsi logaritma dan eksponen , kita membutuhkan juga materi "Limit Tak Hingga Fungsi Khusus", "Aturan Rantai Turunan Fungsi", dan "definisi serta sifat-sifat logaritma" dalam pembuktiannya.

Turunan Fungsi Logaritma

       Fungsi logaritma paling sederhana berbentuk $ y = {}^a \log x \, $ dengan basis $ \, a \, $ dan numerusnya $ \, x . \, $ Berikut turunan fungsi logaritma dari bentuk fungsi logaritma yang paling sederhana :
i). $ y = {}^a \log x \rightarrow y^\prime = \frac{1}{x} . {}^a \log e $
ii). $ y = {}^a \log g(x) \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x) }{g(x) } . {}^a \log e $

dengan $ e=2,7182818..... \, $ ($e = \, $ bilangan euler)

Contoh :
1). Tentukan turunan fungsi logaritma berikut,
a). $ y = {}^2 \log x $
b). $ y = {}^2 \log ( 2x^3 - x^2 + x - 7) $
c). $ y = {}^{(2x+1)} \log ( x - 2) $
Penyelesaian :
a). $ y = {}^2 \log x \rightarrow y^\prime = \frac{1}{x} . {}^2 \log e $

b). Misalkan $ g(x) = 2x^3 - x^2 + x - 7 \rightarrow g^\prime (x) = 6x^2 - 2x + 1 $
Menentukan turunan dengan rumus (ii) :
$ y = {}^2 \log ( 2x^3 - x^2 + x - 7) $
$ y^\prime = \frac{g^\prime (x) }{g(x) } . {}^a \log e = \frac{6x^2 - 2x + 1 }{ 2x^3 - x^2 + x - 7 } . {}^2 \log e $
Jadi, diperoleh $ y^\prime = \frac{6x^2 - 2x + 1 }{ 2x^3 - x^2 + x - 7 } . {}^2 \log e $

c). Sifat logaritma : $ {}^a \log b = \frac{{}^p \log b}{{}^p \log a } $
Sehingga fungsinya :
$ y = {}^{(2x+1)} \log ( x - 2) = \frac{\log ( x - 2)}{ \log (2x+1) } $
*). Permisalan , dan turunan menggunakan rumus (ii) :
$ U = \log (x-2) \rightarrow U^\prime = \frac{1}{x-2} . \log e $
$ V = \log (2x+1) \rightarrow V^\prime = \frac{2}{2x+1} . \log e $
*). Menentukan turunannya :
$ \begin{align} y & = {}^{(2x+1)} \log ( x - 2) = \frac{\log ( x - 2)}{ \log (2x+1) } = \frac{U}{V} \\ y & = \frac{U}{V} \\ y^\prime & = \frac{U^\prime . V - U.V^\prime}{V^2} \\ y^\prime & = \frac{\frac{1}{x-2} . \log e . \log (2x+1) - \log (x-2) . \frac{2}{2x+1} . \log e }{\left( \log (2x+1) \right)^2 } \end{align} $

Turunan Fungsi ln (dibaca "len")

       Bentuk ln sebenarnya sama dengan bentuk log (logaritma) hanya saja basinya adalah $ e $ . Dan untuk sifat-sifat ln juga sama dengan sifat-sifat logaritma.
Bentuk $ {}^e \log x = {}^e \ln x = \ln x \, $ atau
$ \, {}^e \log g(x) = {}^e \ln g(x) = \ln g(x) $ .

Turunan Fungsi ln :
(i). $ y = \ln x \rightarrow y^\prime = \frac{1}{x} $
(ii). $ y = \ln g(x) \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x)}{g(x)} $

Untuk pembuktiannya menggunakan turunan logaritma di atas dan sifat logaritma $ {}^a \log a = 1 $
i). $ y = {}^a \log x \rightarrow y^\prime = \frac{1}{x} . {}^a \log e $
$ y = \ln x = {}^e \log x \rightarrow y^\prime = \frac{1}{x} . {}^e \log e = \frac{1}{x} . 1 = \frac{1}{x} $

ii). $ y = {}^a \log g(x) \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x) }{g(x) } . {}^a \log e $
$ y = \ln g(x) = {}^e \log g(x) $
$ \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x) }{g(x) } . {}^e \log e = \frac{g^\prime (x) }{g(x) } . 1 = \frac{g^\prime (x) }{g(x) } $

Contoh :
2). Tentukan turunan fungsi ln berikut ini :
a). $ y = ln x $
b). $ y = ln (x^2 - 3x + 1) $
Penyelesaian :
a). $ y = ln x \rightarrow y^\prime = \frac{1}{x} $
b). Misalkan $ g(x) = x^2 -3x + 1 \rightarrow g^\prime (x) = 2x - 3 $
$ y = ln (x^2 - 3x + 1) $
$ y^\prime = \frac{g^\prime (x) }{g(x) } = \frac{ 2x - 3 }{ x^2 -3x + 1 } $

Turunan Fungsi Eksponen

       Berikut turunan fungsi eksponen :
i). $ y = a^x \rightarrow y^\prime = a^x . \ln a $
Bentuk khusus : $ y = e^x \rightarrow y^\prime = e^x . \ln e = e^x . 1 = e^x $
ii). $ y = a^{g(x)} \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . a^{g(x)} . \ln a $
Bentuk khusus :
$ y = e^{g(x)} \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . e^{g(x)} . \ln e = g^\prime (x) . e^{g(x)} $

Catatan :
$ \ln e = {}^e \ln e = 1 \, $ sesuai dengan sifat logaritma.
dengan $ e=2,7182818..... \, $ ($e = \, $ bilangan euler)

Contoh :
3). Tentukan turunan fungsi eksponen berikut :
a). $ y = 2^x $
b). $ y = e^x $
c). $ y = 3^{3x^2 - 2x + 1} $
d). $ y = e^{3x^2 - 2x + 1} $
Penyelesaian :
a). $ y = 2^x \rightarrow y^\prime = 2^x . \ln 2 $
b). $ y = e^x \rightarrow y^\prime = e^x $
c). Misalkan $ g(x) = 3x^2 - 2x + 1 \rightarrow g^\prime (x) = 6x - 2 $
$ y = 3^{3x^2 - 2x + 1} $
$ y^\prime = g^\prime (x) . a^{g(x)} . \ln a = (6x-2). 3^{3x^2 - 2x + 1} . \ln 3 $
d). Misalkan $ g(x) = 3x^2 - 2x + 1 \rightarrow g^\prime (x) = 6x - 2 $
$ y = e^{3x^2 - 2x + 1} $
$ y^\prime = g^\prime (x) . e^{g(x)} = (6x-2). e^{3x^2 - 2x + 1} $.