Contoh Soal dan Pembahasan Nilai Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi

         Setelah mempelajari "nilai stasioner fungsi", kita lanjutkan dengan pembahasan aplikasi turunan lainnya yaitu nilai maksimum dan minimum suatu fungsi. Sebenarnya untuk nilai maksimum dan minimum suatu fungsi materinya mirip dengan nilai stasioner , hanya saja kita lebih spesifik membahas jenis maksimum dan minimumnya saja. Untuk memudahkan mempelajari materi ini, sebaiknya baca materi "turunan fungsi aljabar", "turunan fungsi trigonometri" dan "turunan kedua fungsi".

Langkah-langkah Menentukan Nilai maksimum dan minimum fungsi

       Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi $ y = f(x) $ , kita ikuti langkah-langkahnya seperti berikut :
i). Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $ ,
ii). Tentukan jenis stasionernya (maksimum, belok, atau minimum) menggunakan turunan kedua,
iii). Menghitung nilai maksimum atau minimum yang diminta dengan substitusi nilai variabelnya ke fungsi awal.

Catatan :
Nilai maksimum dan minimum yang dimaksud untuk suatu fungsi adalah nilai maksimum dan minimum lokal, artinya hanya berlaku pada interval tertentu saja. Berikut gambar ilustrasinya.

Contoh :
1). Tentukan nilai maksimum dari fungsi $ f(x) = -x^2 + 4x + 3 $ ?
Penyelesaian :
*). Fungsi awal : $ f(x) = -x^2 + 4x + 3 $
$ f^\prime (x) = -2x + 4 \, $ dan $ f^{\prime \prime } (x) = -2 $
*). Menentukan nilai $ x \, $ dari syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ f^\prime (x) = 0 \rightarrow -2x + 4 = 0 \rightarrow x = 2 $ .
*). Menentukan jenis stasionernya : gunakan turunan kedua.
untuk $ x = 4 \rightarrow f^{\prime \prime } (2) = -2 \, $ (negatif), jenisnya maksimum. Artinya nilai $ x = 2\, $ menyebabkan fungsinya maksimum.
*). Menentukan nilai maksimum saat $ x = 2 $ , substitusi ke fungsi awal
$ f_{maks} = f(2) = -(2)^2 + 4.2 + 3 = 7 $
Jadi, nilai maksimum fungsi $ f(x) = -x^2 + 4x + 3 \, $ adalah 7 pada saat $ x = 2 $ .

2). Tentukan nilai minimum fungsi $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x + 3 $ ?
Penyelesaian :
*). Fungsi awal : $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x + 3 $
$ f^\prime (x) = x^2 + x - 2 \, $ dan $ f^{\prime \prime } (x) = 2x + 1 $
*). Menentukan nilai $ x \, $ dari syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ f^\prime (x) = 0 \rightarrow x^2 + x - 2 = 0 \rightarrow (x+2)(x-1) = 0 \rightarrow x = -2 \vee x = 1 $ .
*). Menentukan jenis stasionernya : gunakan turunan kedua.
untuk $ x = -2 \rightarrow f^{\prime \prime } (-2) = 2.(-2) + 1 = -3 \, $ (negatif), jenisnya maksimum. Artinya nilai $ x = - 2\, $ menyebabkan fungsinya maksimum.
untuk $ x = 1 \rightarrow f^{\prime \prime } (1) = 2.(1) + 1 = 3 \, $ (positif), jenisnya minimum. Artinya nilai $ x = 1\, $ menyebabkan fungsinya minimum.
*). Menentukan nilai minimum saat $ x = 1 $ , substitusi ke fungsi awal
$ f_{min} = f(1) = \frac{1}{3}.1^3 + \frac{1}{2}.1^2 - 2.1 + 3 = \frac{11}{6} $
Jadi, nilai maksimum fungsi $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x + 3 \, $ adalah $ \frac{11}{6} $ pada saat $ x = 1 $ .

3). Fungsi $ f(x) = \frac{1}{2}x - \sqrt{x - p } \, $ memiliki nilai maksimum $ \frac{5}{2} $. Tentukan nilai $ 2p - 5 $ ?
Penyelesaian :
*). Fungsi awal : $ f(x) = \frac{1}{2}x - \sqrt{x - p } $
$ f^\prime (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x-p}} \, $
*). Menentukan nilai $ x \, $ dari syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ \frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x-p}} & = 0 \\ \frac{1}{2\sqrt{x-p}} & = \frac{1}{2} \\ \sqrt{x-p} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\sqrt{x-p})^2 & = 1^2 \\ x-p & = 1 \\ x & = p+1 \end{align} $ .
Artinya fungsi $ f(x) \, $ maksimum pada saat $ x = p + 1 \, $ .
*). Menentuka nilai $ p \, $ dengan nilai maksimumnya $ \frac{5}{2} \, $ pada saat $ x = p + 1 $ . Artinya $ f_{maks} = \frac{5}{2} \rightarrow f(p+1) = \frac{5}{2} $ . Substitusi $ x = p + 1 \, $ ke fungsi awal diperoleh nilai maksimumnya :
$ \begin{align} f(x) & = \frac{1}{2}x - \sqrt{x - p } \\ f(p+1) & = \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2}(p+1) - \sqrt{(p+1) - p } & = \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2}(p+1) - \sqrt{1} & = \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2}(p+1) - 1 & = \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2}(p+1) & = \frac{5}{2} + 1 \\ \frac{1}{2}(p+1) & = \frac{7}{2} \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ p + 1 & = 7 \\ p & = 6 \end{align} $ .
Sehingga nilai $ p = 6 $ .
Nilai $ 2p - 5 = 2.6 - 5 = 12 - 5 = 7 $
Jadi, nilai $ 2p - 5 = 5 $ .

Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi pada interval tertentu

       Nilai maksimum atau minimum fungsi $ y = f(x) \, $ pada interval $ a \leq x \leq b \, $ dapat diperoleh dengan cara :
i). Tentukan nilai fungsi pada batas interval yaitu $ f(a) \, $ dan $ f(b) $ .
ii). Menentukan nilai $ x \, $ yang ada pada interval $ a \leq x \leq b \, $ yang menyebabkan nilai maksimum atau minimum dengan syarat stasioner dan menentukan nilai fungsinya.
iii). Bandingkan nilai fungsi yang diperoleh dari (i) dan (ii), pilih sesuai yang diharapkan (nilai maksimum atau minimum).

Contoh :
4). Tentukan nilai minimum fungsi $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x + 3 \, $ pada interval $ 0 \leq x \leq 3$? Penyelesaian :
*). Soal ini sama dengan contoh soal nomor 2 di atas, nilai minimumnya pada saat $ x = 1 $ .
*). Menentukan nilai fungsi pada batas intervalnya yaitu $ f (0) \, $ dan $ f(3) $.
Untuk $ x = 0 \rightarrow f(0) = \frac{1}{3}.0^3 + \frac{1}{2}.0^2 - 2.0 + 3 = 3 $
Untuk $ x = 3 \rightarrow f(3) = \frac{1}{3}.3^3 + \frac{1}{2}.3^2 - 2.3 + 3 = \frac{21}{2} $
*). Dari syarat stasioner, fungsi $ f(x) \, $ minimum saat $ x = 1 \, $ yang ada pada interval $ 0 \leq x \leq 3 \, $ . Untuk $ x = 1 \rightarrow f(1) = \frac{1}{3}.1^3 + \frac{1}{2}.1^2 - 2.1 + 3 = \frac{11}{6} $
Dari haisil nilai fungsi di atas, nilai minimum fungsi $ f(x) \, $ adalah $ \frac{11}{6} $ .

Jika nilai $ x \, $ yang memenuhi syarat stasioner tida pada interval $ a \leq x \leq b \, $ , maka nilai fungsi untuk syarat stasioner ini tidak perlu di hitung.

5). Tentukan nilai minimum fungsi $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x + 3 \, $ pada interval $ -2 \leq x \leq 0$? Penyelesaian :
*). Soal ini sama dengan contoh soal nomor 2 di atas, nilai minimumnya pada saat $ x = 1 $ .
*). Menentukan nilai fungsi pada batas intervalnya yaitu $ f (-2) \, $ dan $ f(0) $.
Untuk $ x = 3 \rightarrow f(-2) = \frac{1}{3}.(-2)^3 + \frac{1}{2}.(-2)^2 - 2.(-2) + 3 = \frac{19}{3} $
Untuk $ x = 0 \rightarrow f(0) = \frac{1}{3}.0^3 + \frac{1}{2}.0^2 - 2.0 + 3 = 3 $
*). Dari syarat stasioner, fungsi $ f(x) \, $ minimum saat $ x = 1 \, $ yang tidak ada pada interval $ -2 \leq x \leq 0 \, $ . Artinya nilai fungsi untuk $ x = 1 \, $ tidak perlu kita hitung.
Dari haisil nilai fungsi di atas, nilai minimum fungsi $ f(x) \, $ adalah $ 3 $ .

Contoh nilai maksimum dan minimum fungsi trigonometri.

6). Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi $ f(x) = 3\sin x + 4 \cos x $?
Penyelesaian :
*). Fungsi awal : $ f(x) = 3\sin x + 4 \cos x $
$ f^\prime (x) = 3\cos x - 4\sin x \, $ dan $ f^{\prime \prime } (x) = -3\sin x - 4\cos x $
*). Menentukan nilai $ x \, $ dari syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 3\cos x - 4\sin x & = 0 \\ 3\cos x & = 4\sin x \\ \frac{\sin x }{\cos x } & = \frac{3}{4} \\ \tan x & = \frac{3}{4} \end{align} $ .
menentukan nilai $ \sin x \, $ dan $ \cos x \, $ dari $ \tan x = \frac{3}{4} $ .
Rumus dasar $ \tan x = \frac{depan}{samping} = \frac{3}{4} \, $ artinya pada segitiga siku-siku panjang depan sudutnya 3 dan sampingnya 4, sehingga dengan teorema pythagoras sisi miringnya adalah 5.
Nilai $ \sin x = \frac{depan}{miring} = \pm \frac{3}{5} \, $
Nilai $ \cos x = \frac{depan}{miring} = \pm \frac{4}{5} \, $
karena nilai tan positif bisa dikuasran I atau kuadran III, sehingga nilai sin dan cos juga bisa positif atau negatif.
Untuk lebih jelas, sialhkan baca materi "perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku".
*). Menentukan jenis stasionernya : gunakan turunan kedua.
turunan keduanya : $ f^{\prime \prime } (x) = -3\sin x - 4\cos x $
Nilai maksimum : Agar turunan keduanya bernilai negatif, maka nilai sin dan cos harus positif semua. artinya fungsi akan maksimum pada saat $ \sin x = \frac{3}{5} \, $ dan $ \cos x = \frac{4}{5} $.
Nilai minimum : Agar turunan keduanya bernilai positif, maka nilai sin dan cos harus negatif semua. artinya fungsi akan maksimum pada saat $ \sin x = - \frac{3}{5} \, $ dan $ \cos x = - \frac{4}{5} $.
*). Menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi $ f(x) = 3\sin x + 4 \cos x $
Nilai maksimum :
$ f_{maks} = 3\sin x + 4 \cos x = 3. \frac{3}{5} + 4 . \frac{4}{5} = \frac{9}{5} + \frac{16}{5} = \frac{25}{5} = 5 $
Nilai minimum :
$ f_{maks} = 3\sin x + 4 \cos x = 3. (-\frac{3}{5}) + 4 . (-\frac{4}{5}) = -\frac{9}{5} - \frac{16}{5} = -\frac{25}{5} = -5 $
Jadi, nilai maksimum fungsi $ f(x) = 3\sin x + 4 \cos x \, $ adalah 5 dan nilai minimumnya adalah $ - 5 $ .

Catatan : Sebenarnya jika dari syarat stasionernya kita bisa menentukan nilai $ x \, $ , maka carilah nilai $ x \, $ dulu baru kita tentukan jenis stasionernya dengan substitusi besar sudutnya ($x$).