Ayunan Sederhana (Pendulum)

Sebuah pendulum sederhana atau ayunana sederhana terdiri dari sebuah objek kecil yang digantungkan di ujung sebuah tali ringan, gambar 1. Kita anggap bahwa talinya tidak meregang dan massa tali dapat diabaikan relatif terhadap bandul. Ayunan sederhana akan bergerak maju-mundur dengan gesekan diabaikan seperti gerak harmonik sederhana. Bandul ayunan sederhana akan berosilasi (gerak maju-mundur) sepanjang busur lingkaran dengan amplitudo yang sama di kedua sisi titik kesetimbangannyanya, dan saat melewati titik kesetimbangan (di mana ia akan menggantung vertikal) bandul memiliki kecepatan sebanding dengan perpindahannya? Mari kita cari tahu!!

Gambar 1: Foto lampu strobo ddari sebuah pendulum yang berosilasi

Perpindahan dari pendulum sepanjang busur diberikan oleh s = lӨ, di mana Ө adalah sudut (dalam radian) yang dibuat oleh tali terhadap vertikal dan l adalah panjang tali, gambar 2. Jika gaya pemulih sebanding dengan s atau Ө, geraknya akan harmonik sederhana. 

Gambar 2: Pendulum sederhana dan diagram benda bebas.

Gaya pemulih adalah gaya total pada bandul, yang sama dengan komponen berat yang menyinggung busur.

F = –mg sin Ө

di mana g adalah percepatan gravitasi. Tanda minus di sini berarti gayanya berlawanan arah terhadap perpindahan sudut, Ө. Karena F sebanding dengan sinus dari Ө dan tidak dengan Ө itu sendiri, geraknya tidak gerak harmonik sederhana. Namun jika Ө kecil, maka sin Ө adalah sangat hampir sama dengan Ө ketika sudutnya ditentukan dalam radian. Hal ini dapat dilihat dengan memperhatikan gambar 2 bahwa panjang busur s (= lӨ) hampir sama panjangnya dengan akor (l sin Ө) yang ditunjukkan oleh garis putus-putus horisontal lurus, jika Ө kecil. Untuk sudut kurang dari 150, perbedaan antara Ө (dalam radian) dan sin Ө kurang dari 1% (lihat tabel 1). Jadi, untuk pendekatan yang sangat baik untuk sudut kecil,

F = –mg sin Ө = –mgӨ.

dengan mensubtitusi s = lӨ, atau Ө = s/l, kita dapatkan

F = – mgs/l

Dengan demikian, untuk perpindahan kecil, gerak dapat dimodelkan sebagai kurang lebih harmonik sederhana, F = –kx, di mana untuk x kita memiliki panjang busur s. Konstanta gaya efektif adalah k = mg/l. Jika kita mensubtitusi k = mg/l ke persamaan periode gerak harmonik sederhana, kita peroleh periode bandul sederhana sebagai,

atau

Frekuensinya adalah f = 1/T, maka

massa m dari bandul sederhana tidak muncul dalam rumus untuk T dan f di atas. Dengan demikian kita memiliki hasil yang mengejutkan bahwa perode dan frekuensi pendulum sederhana tidak bergantung pada massa bandulnya.  Kita juga melihat bahwa perode dan frekuensi ayunan sederhana tidak bergantung pada amplitudo selama amplitudo Ө kecil. 

Gambar 3: Jam pendulum

Karena ayunan sederhana tidak mengalami gerak harmonik sederhana secara tepat, periodenya memang sedikit bergantung pada amplitudo, lebih-lebih untuk amplitudo besar. Keakuratan jam pendulum akan berpengaruh, setelah banyak ayunan oleh penurunan amplitudo akibat gesekan. Tetapi pegas utama pada jam pendulum (atau pemberat yang bergerak turun pada grandfather clock) memasok energi untuk mengimbangi gesekan dan untuk menjaga konstannya amplitudo, sehingga penunjukkan waktunya tetap tepat.