Jenis - jenis Akar Persamaan Kuadrat
Pada rumus ABC sebelumnya , $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \, $ , bentuk $ D = b^2 - 4ac \, $ disebut sebagai nilai Diskriminan. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dapat ditentukan berdasarkan nilai Diskriminannya $(D) \, $ . Berdasarkan akar-akar persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ , persamaan kuadrat memiliki akar-akar maksimal sebanyak dua yaitu $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ .
Adapun jenis-jenis akar persamaan kuadratnya :
Dari kelima jenis akar di atas, tentu sobat bingung ya? OK, kami akan jelaskan tentang apa itu bilangan real, imajiner dan rasional.
Misalkan ada bilangan $ a = \sqrt{-1} \, $ , bilangan yang memuat bentuk $ \sqrt{-1} \, $ inilah yang disebut dengan bilangan imajiner. Bentuk $ \sqrt{-1} \, $ biasanya disimbulkan dengan $ i \, $ dengan nilai $ i = \sqrt{-1} \, $ . Sementara bilangan real adalah bilangan yang tidak memuat bentuk $ \sqrt{-1} \, $ . Bilangan real termasuk semua bilangan bulat, pecahan, prima, rasional , irrasional, dan lainnya.
Contoh bilangan imajiner :
(i). $ \sqrt{-3} \, $ , karena $ \sqrt{-3} = \sqrt{3.(-1)} = \sqrt{3}.\sqrt{-1}=\sqrt{3}i $
(ii). $ - \sqrt{-1} \, $ , karena $ - \sqrt{-1} = - i $
contoh bilangan rasional :
(i). $ 4 \, $ , karena $ 4 = \frac{4}{1} = \frac{8}{2} = \frac{12}{3} = .... $
(ii) . $ \frac{-3}{5} \, $ , jelas karena sudah berbentuk pecahan.
(iii). $ 0,555555.... \, $ , karena $ 0,555555.... = \frac{5}{9} $
sementara bentuk akar bukan bilangan rasional (contoh $\sqrt{2} \, $ ) tetapi disebut bilangan irrasional.
Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang merupakan hasil gabungan dari bilangan real dengan bilangan imajiner atau salah satunya, artinya bilangan kompleks adalah bilangan yang cakupannya paling luas.
contoh bilangan kompleks :
(i). $ 3-\sqrt{-2} \, $ , gabungan dari real dan imajiner .
(ii). 2 , bilangan real saja.
(iii). $ \sqrt{-5} \, $ , bilangan imajiner saja.
Kita kembali pada jenis-jenis akar, berdasarkan nilai diskriminannya ($D$) , akar-akar PK dibagi menjadi lima jenis seperti yang tercantum di atas yaitu real, real beda, real sama/kembar, imajiner, dan rasional. Untuk lebih jelasnya, kita lihat contoh berikut.
Semoga materi "jenis-jenis akar" ini bisa bermanfaat. Terima kasih untuk kunjungannya ke blog ini.
Adapun jenis-jenis akar persamaan kuadratnya :
(i). Jika $ D \geq 0 \, , $ maka kedua akarnya nyata (real)
(ii). Jika $ D > 0 \, , $ maka kedua akarnya nyata (real) dan berbeda
(iii). Jika $ D = 0 \, , $ maka kedua akarnya nyata (real) dan sama (kembar)
(iv). Jika $ D < 0 \, , $ maka kedua akarnya tidak nyata (imajiner) atau tidak punya akar real
(v). Jika $ D = p^2 \, $ (dengan $ p \, $ bilangan bulat) , maka kedua akarnya rasional.
(ii). Jika $ D > 0 \, , $ maka kedua akarnya nyata (real) dan berbeda
(iii). Jika $ D = 0 \, , $ maka kedua akarnya nyata (real) dan sama (kembar)
(iv). Jika $ D < 0 \, , $ maka kedua akarnya tidak nyata (imajiner) atau tidak punya akar real
(v). Jika $ D = p^2 \, $ (dengan $ p \, $ bilangan bulat) , maka kedua akarnya rasional.
Dari kelima jenis akar di atas, tentu sobat bingung ya? OK, kami akan jelaskan tentang apa itu bilangan real, imajiner dan rasional.
Bilangan Real dan Imajiner
Contoh bilangan imajiner :
(i). $ \sqrt{-3} \, $ , karena $ \sqrt{-3} = \sqrt{3.(-1)} = \sqrt{3}.\sqrt{-1}=\sqrt{3}i $
(ii). $ - \sqrt{-1} \, $ , karena $ - \sqrt{-1} = - i $
Bilangan Rasional
Bilangan rasional merupakan bilangan yang dapat dirubah dalam bentu pecahan $ \frac{a}{b} \, $ dengan $ a \, $ dan $ b \, $ bilangan bulat. contoh bilangan rasional :
(i). $ 4 \, $ , karena $ 4 = \frac{4}{1} = \frac{8}{2} = \frac{12}{3} = .... $
(ii) . $ \frac{-3}{5} \, $ , jelas karena sudah berbentuk pecahan.
(iii). $ 0,555555.... \, $ , karena $ 0,555555.... = \frac{5}{9} $
sementara bentuk akar bukan bilangan rasional (contoh $\sqrt{2} \, $ ) tetapi disebut bilangan irrasional.
Bilangan Kompleks
contoh bilangan kompleks :
(i). $ 3-\sqrt{-2} \, $ , gabungan dari real dan imajiner .
(ii). 2 , bilangan real saja.
(iii). $ \sqrt{-5} \, $ , bilangan imajiner saja.
Kita kembali pada jenis-jenis akar, berdasarkan nilai diskriminannya ($D$) , akar-akar PK dibagi menjadi lima jenis seperti yang tercantum di atas yaitu real, real beda, real sama/kembar, imajiner, dan rasional. Untuk lebih jelasnya, kita lihat contoh berikut.
Contoh 1.
Agar persamaan kuadrat $ 2x^2 -3x + p-1 = 0 \, $ memiliki akar kembar(sama), tentukan nilai $ p \, $ yang memenuhi.
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ PK : $ 2x^2 -3x + p-1 = 0 \rightarrow a = 2, \, b=-3 , \, c = p-1 $
$\spadesuit \, $ Syarat akar kembar : $ D = 0 $
$\begin{align} D = b^2 - 4ac & = 0 \\ (-3)^2 - 4.2.(p-1) & = 0 \\ 9 - 8(p-1) & = 0 \\ 9 - 8p+8 & = 0 \\ 17 - 8p & = 0 \\ 8p & = 17 \\ p & = \frac{17}{8} \end{align}$
Jadi, agar akarnya kembar nilai $ p = \frac{17}{8} . \heartsuit $
$\spadesuit \, $ PK : $ 2x^2 -3x + p-1 = 0 \rightarrow a = 2, \, b=-3 , \, c = p-1 $
$\spadesuit \, $ Syarat akar kembar : $ D = 0 $
$\begin{align} D = b^2 - 4ac & = 0 \\ (-3)^2 - 4.2.(p-1) & = 0 \\ 9 - 8(p-1) & = 0 \\ 9 - 8p+8 & = 0 \\ 17 - 8p & = 0 \\ 8p & = 17 \\ p & = \frac{17}{8} \end{align}$
Jadi, agar akarnya kembar nilai $ p = \frac{17}{8} . \heartsuit $
Contoh 2.
Bagaimana dengan materi jenis-jenis akar persamaan kuadrat ini, menyenangkan bukan? Untuk contoh yang lainnya bisa dilihat pada soal-soal pendalaman persamaan kuadrat. Secara umum sebenarnya jenis-jenis akar dibagi menjadi dua yaitu akar real dan akar tidak real (imajiner). Kemudian akar-akar real dibagi lagi menjadi akar-akar berbeda, akar-akar sama (kembar), dan akar-akar rasional (atau tidak rasional). Persamaan kuadrat $ x^2 - mx + \left( \frac{1}{2}m+2 \right) = 0 \, $ mempunyai akar real (nyata), tentukan nilai $ m \, $ yang memenuhi?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ PK $ x^2 - mx + \left( \frac{1}{2}m+2 \right) = 0 $
$ a = 1 , \, b = -m, \, c = \frac{1}{2}m+2 $
$\clubsuit \,$ Syarat akar-akar real : $ D \geq 0 $
$\begin{align} D = b^2 - 4ac \geq 0 \\ (-m)^2 - 4.1.\left( \frac{1}{2}m+2 \right) \geq 0 \\ m^2 - 2m-8 \geq 0 \\ (m+2)(m-4) \geq 0 \\ m = -2 \vee m & = 4 \end{align}$
Jadi, nilai $ m \, $ yang memenuhi agar akar-akarnya real adalah $ m \leq -2 \vee m \geq 4 \, $ . (menggunakan konsep pertidaksamaan). $ \heartsuit $
$\clubsuit \,$ PK $ x^2 - mx + \left( \frac{1}{2}m+2 \right) = 0 $
$ a = 1 , \, b = -m, \, c = \frac{1}{2}m+2 $
$\clubsuit \,$ Syarat akar-akar real : $ D \geq 0 $
$\begin{align} D = b^2 - 4ac \geq 0 \\ (-m)^2 - 4.1.\left( \frac{1}{2}m+2 \right) \geq 0 \\ m^2 - 2m-8 \geq 0 \\ (m+2)(m-4) \geq 0 \\ m = -2 \vee m & = 4 \end{align}$
Semoga materi "jenis-jenis akar" ini bisa bermanfaat. Terima kasih untuk kunjungannya ke blog ini.
Posting Komentar untuk "Jenis - jenis Akar Persamaan Kuadrat "