Hukum Kekekalan Momentum Linear

Konsep kekekalan momentum sangat penting karena pada keadaan tertentu, momentum merupakan besaran yang kekal. Pada pertengahan abad ke-17, tidak lama sebelum masa Newton, telah diketahui bahwa jumlah vector momentum dari dua benda yang bertumbukkan tetap konstan. Bayangkan, misalnya, tumbukkan berhadapan dari dua bola bilyar, seperti ditunjukkan pada gambar 2. Kita anggap gaya eksternal total system dua bola ini sebesar nol-artinya, gaya yang signifikan hanyalah gaya yang diberikan  tiap bola ke bola lainnya ketika tumbukkan. Walaupun momentum dari tiap bola berubah akibat terjadi tumbukkan jumlah momentum mereka ternyata sama pada waktu sebelum dan sesudah tumbukkan. Jika m₁v₁ adalah momentum bola nomor 1 dan m₂v₂ adalah momentum bola nomor 2, keduanya diukur sebelum tumbukkan, maka momentum total keuanya sebelum tumbukkan adalah m₁v₁ + m₂v₂. Setelah tumbukkan, masing-masing bola memiliki kecepatan dan momentum yang berbeda, yang kita beri tanda “aksen” pada kecepatan: m₁v’₁ dan m₂v’₂. Momentum total setelah tumbukkan adalah : m₁v’₁ + m₂v’₂. Tidak peduli berapapun kecepatan dan massa yang terlibat, ternyata momentum total sebelum tumbukan sama dengan sesudahnya, apakah tumbukkan tersebut dari depan atau tidak, selama tidak ada gaya ekternal total yang bekerja:

                  ”momentum sebelum tumbukan = momentum setelah tumbukan”

 m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v’₁ + m₂v’₂

Jadi jumlah vector momentum pada system dua bola tersebut kekal: tetap konstan.

Walaupun hokum kekekalan momentum ditemukan dari percobaan, hukum ini berhubungan erat dengan hukum gerak Newton dan dapat dibuktikan keduanya sama. Kita akan melalukan penurunan sederhana dari kasus satu dimensi yang diilustrasikan pada gambar 2. Kita anggap gaya F yang diberikan bola yang satu terhadap yang lain selama tumbukan konstan terhadap waktu tumbukkan ∆t. Kita gunakan hukum Newton kedua sebagaimana dinyatakan pada persamaan,

Dan kita tuliskan kembali sebagai, ∆p = F.∆t.  F₂₁ pada bola 2 yang disebabkan oleh bola 1 selama tumbukkan mempunyai arah ke kanan (arah +x), gambar 3.

Kita terapkan persamaan ini pada bola 2, dengan memperhatikan bahwa gaya

∆p₂ = m₂v’₂ - m₂v₂ = F₂₁∆t. 

Berdasarkan hukum Newton ketiga, gaya F₁₂ pada bola 1 yang disebabkan oleh bola 2 adalah F₁₂ = - F₂₁ dan bekerja kea rah kiri, sehingga

∆p₁ = m₁v’₁ – m₁v₁ = -F₁₂∆t.

Kita dapat menggabungkan kedua persamaan terakhir ini (ruas kanannya hanya dibedakan oleh tanda minus):

m₁v’₁ – m₁v₁ = - (m₂v’₂ - m₂v₂)   atau  m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v’₁ + m₂v’₂

yang merupakan persamaan sebelumnya, kekekalan momentum.

Penurunan di atas dapat diperluas untuk benda-benda dengan jumlah berapa pun. Untuk menunjukkan hal ini dengan cara yang sederhana, kita tentukan p pada persamaan ∑F  = ∆p/∆t menyatakan momentum total dari sebuah system-yaitu, jumlah vector dari momentum semua benda pada system tersebut. (Untuk system dua benda di atas, p = m₁v₁ + m₂v₂). Jika gaya total ∑F pada system adalah nol (sebagaimana pada system dua benda di atas, F + (-F) = 0), maka persamaan ∑F  = ∆p/∆t, ∆p = F.∆t = 0, sehingga momentum total tidak berubah. Dengan demikian, pernyataan umum hukum kekekalan momentum adalah

“momentum total dari suatu system benda-benda yang terisolasi tetap konstan”

dengan istilah system, yang dimaksud adalah sekumpulan benda yang beriteraksi satu sama lain. Sistem terisolasi adalah suatu system di mana gaya yang hanyalah gaya-gaya di antara benda-benda pada system itu sendiri. Jumlah semua gaya ini akan nol dengan berlakunya hukum Newton ketiga. Jika ada gaya luar, yang dimaksud adalah gaya-gaya yang diberikan oleh benda diluar system dan jumlahnya tidak nol (secara vector), maka momentum total tidak kekal. bagaimanapun jika system dapat didefinisi ulang sehingga mencakup benda-benda lain yang bemberikan gaya ini, maka prinsip kekekalan momentum dapat diterapkan.

Sebagai contoh, jika kita ambil system sebuah batu yang jatuh, kekekalan momentum tidak berlaku karena adanya gaya luar. Gaya gravitasi yang diberikan oleh bumi, bekerja pada batu tersebut dan momentumnya berubah. Bagaimanapun, jika kita memasukan bumi ke dalam system ini, momentum total batu ditambah momentum total bumi akan kekal. (Hal ini tentu berarti bahwa Bumi naik untuk mencapai batu. Karena massa Bumi sangat besar, kecepatan ke atasnya sangat kecil).