Soal dan Pembahasan Panjang Gelombang de Broglie

Soal 1
Sebuah elektron bermassa 9 x 10^-31 kg memiliki kecepatan 10⁶ m/s. sebuah bola tenis bermassa 0,2 kg sedang bergerak dengan kecepatan 30 m/s setelah bola itu dipukul. Hitung panjang gelombang benda-benda dalam tiap kasus. Kesimpulan apakah yang dapat diambil pada kedua hasil?

Jawab:
Massa elektron, m_e = 9 x 10^-31 kg, kecepatan elektron v_e = 10⁶ m/s,
Massa bola tenis, m_b = 0,2 kg, kecepatan bola tenis v_b = 30 m/s
Panjang gelombang de Broglie tiap partikel dihitung dengan
λ = h/(mv)
elektron
λ_e = h/(mv) = (6,6 x 10^-34 Js)/(9 x 10^-31 kg x 10⁶ m/s)
    = 7,3 x 10^-9 m
Bola tenis
λ_b = h/(mv) = (6,6 x 10^-34 Js)/(0,2 kg x 30 m/s)
    = 1,1 x 10^-34 m
Jika kita bandingkan kedua nilai panjang gelombang ini, jelaslah bahwa panjang gelombang untuk partikel-partikel berukuran besar (seperti bola tenis) terlalu kecil untuk dapat diukur. Oleh karena itu, rumus panjang gelombang de Broglie biasanya ditujukan untuk menghitung panjang gelombang mikro (seperti elektron, proton, dan neutron) yang sedang bergerak.

Soal 2
Sebuah elektron yang mula-mula diam dipercepat oleh beda potensial sebesar V sehingga panjang gelombang de Broglie elektron adalah λ. Jika elekrton yang mula-mula diam tersebut dipercepat dengan beda potensial 4V, maka panjang gelombang de Broglie elektron menjadi . . . .

A. λ/16     D. λ/4
B. λ/2       E. 4λ
C. 2λ

Jawab:
Beda potensial V₁ = V, V₂ = 4V, dan panjang gelombang λ₁ = λ
Elektron dipercepatan dalam beda potensial listrik maka berlaku perubahan energi kinetik elektron sama dengan energi potensial listrik elektron
½ m_ev_e² = eV
v_e = [2eV/m_e]^1/2 (kecepatan elektron)
maka rumus panjang gelombang de Broglie menjadi
λ = h/(mv)
λ_e = h/[m_e(eV/m_e)^1/2]
λ_e = h/[2m_eeV]^1/2
Sehingga
λ_e1/λ_e2 = (V₂/V₁)^1/2 = (4V/V)^1/2 = 2
λ_e2 = 2λ

Soal 3
Dari persamaan de Broglie diperoleh panjang gelombang sebuah elektron yang sedang bergerak adalah 0,1 nm. (a) Hitung kecepatan elektron dan (b) Jika elergi kinetik elektron dilipatduakan (atau digandakan), berapakah panjang gelombang barunya?

Jawab:
(a) Panjang gelombang eletron, λ = 0,1 x 10^-9 m, massa elektron m_e = 9 x 10^-31 kg
Kecepatan elektron v dihitung dengan persamaan de Broglie
λ_e = h/(m_ev)
v_e = h/(mλ_e) = (6,6 x 10^-34 Js)/(9 x 10^-31 kg x 0,1 x 10^-9 m)
    = 7,3 x 10⁶ m/s
(b) Jika Ek₂ = 2Ek₁, hitung λ₂
Energi kinetik elektron adalah
EK = ½ m_ev_e²
v_e = [2Ek/m]^1/2
maka panjang gelombang de Broglie dapat dirumuskan sebagai
λ_e = h/(m_ev)
 λ_e = h/[2m_eEk]^1/2
Jika kita bandingkan λ₁ dan λ₂, kita peroleh
λ₂/λ₁ = [Ek₁/Ek₂]^1/2 = 1/√2
λ₂ = 5√2 x 10^-2 nm