Soal dan penyelesaian satuan dan dimensi dalam besaran fisika

Soal 1
Kecepatan bunyi v dalam gas mungkin masuk akal tergantung pada tekanan p, densitas ρ, dan volume V gas. Gunakan analisis dimensi untuk menentukan eksponen x, y, dan z dalam rumus

v = Cp^xρ^yV^z,

Dimana C adalah konstanta berdimensi. Satuan tekanan dalam  MKS adalah kilogram per meter per detik kuadrat.

Jawab:
Menyamakan dimensi kedua sisi persamaan di atas,

kita dapatkan Perbandingan eksponen [L], [M], dan [T] pada kedua sisi hasil ekspresi di atas,

1 = -x – 3y +3z,

0 = x+y,

-1 = -2x.

Persamaan ketiga segera memberi x = ½; Persamaan kedua kemudian menghasilkan y = - ½; Akhirnya, persamaan pertama memberi z = 0. Oleh karena itu,


Soal 2
Susu mengalir melalui pipa penuh yang diameternya diketahui 1,8 cm. Satu-satunya ukuran yang tersedia adalah tangki yang dikalibrasi di kaki kubik, dan ditemukan bahwa dibutuhkan 1 jam untuk mengisi 12,4 kaki3. Berapakah kecepatan aliran cairan di dalam pipa '?

jawab:
-Kecepatan adalah [L] /[t] dan satuan dalam sistem SI untuk kecepatan oleh karena itu m s^-1:
v = L/T dimana v adalah kecepatan.
Sekarang V = AL dimana V adalah volume panjang pipa L dari luas penampang A Yaitu L = V/A.
Oleh karena itu v = V/At
Memeriksa dimensi ini
[L] [t]^-1 = [L]³ [L]^-2[t]^-1 = [L][t]^-1  yang mana adalah benar.
Karena kecepatan yang dibutuhkan dalam ms^-1, volume harus dalam m³, waktu di s dan luas dalam m².
Dari pengukuran volume V/t = 12,4 kaki³/jam^-1
Kita tahu itu,
1 kaki³ = 0,0283 m³ 1 = (0,0283 m³/1 kaki³)
1 jam = 60 x 60 s
Jadi, (1 jam / 3600 s) = 1
Oleh karena itu
V/t = 12,4 kaki³ /jam  x (0,0283 m³/ 1 kaki³) x (1 jam/3600 s) = 9,75 x 10^-5 m³s^-1.
Juga luas pipa A = πD²/4 = Π (0,018) 2/4 m² = 2,54 x 10^-4 m²
Maka kecepatan susu
v = V/t x 1/A = 9,75 x 10^-5/2,54 x 10^-4 = 0,38 ms^-1.

Soal 3
Gaya viskositas F yang bekerja pada permukaan bola yang bergerak melalui fluida bergantung pada kecepatan (v), radius bola (r) dan koefisiensi viskositas  fluida 'η'. Dengan menggunakan metode  dimensi tentukan rumusan 'F'.
Jawab:
Misalkan F α v^a, F α r^b dan F α η^c ... ... (1)
Jadi, F = Kv^ar^bη^c
Dimana 'K' adalah konstanta berdimensi.
Rumus dimensi F = [M¹L¹T^-2]
Rumus dimensi v = [L¹T^-1]
Rumus dimensi r = [L¹]
Rumus dimensi dari η = [M¹L^-1T^-1]
Pengganti untuk rumus dimensi dalam persamaan (1),
[M¹L¹T^-2] = [L¹T^-1]^a [L¹]^b[M¹L^-1T^-1]^c [M¹L¹T^-2] = [M^cL^{a + b + c} T^-a-c] ... ... (2)
Sesuai dengan prinsip homogenitas, dimensi kedua sisi relasi (2) harus sama.
Jadi,
c = 1 ... ... (3)
a + b - c = 1 ... ... (4)
-a - c = -2 ... ... (5)
Menempatkan c = 1 dalam (5), kita mendapatkan a = 1 Menempatkan a = 1 dan c = 1 dalam (4), kita mendapatkan b = 1 Dengan mensubstitusikan a, b dan c pada (1), ]
kita peroleh hubungan

F = kηrv