Kedudukan Titik dan Garis terhadap Lingkaran
Kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran di sini maksudnya posisi (letak) titik dan garis pada lingkaran yaitu untuk titik posisinya diluar lingkaran, pada lingkaran, atau di dalam lingkaran , sedangkan untuk garis posisinya berbotongan dengan lingkaran, bersinggungan, atau tidak berpotongan.
Contoh :
Tentukan posisi titik-titik berikut terhadap lingkaran $x^2 + y^2 = 25$
1). A(3,1)
2). B(-3,4)
3). C(5,-6)
Penyelesaian :
*). Kita misalkan : $ K = x^2 + y^2 $ , kita akan bandingkan hasilnya dengan 25.
*). Menentukan nilai $ K $ setiap titik :
$ \begin{align} A(3,1) \rightarrow K & = x^2 + y^2 \\ K & = 3^2 + 1^2 \\ K & = 9 + 1 = 10 \end{align} $
Nilai $ K = 10 < 25 , \, $ artinya titik A(3,1) terletak di dalam lingkaran $x^2 + y^2 = 25$
$ \begin{align} B(-3,4) \rightarrow K & = x^2 + y^2 \\ K & = (-3)^2 + 4^2 \\ K & = 9 + 16 = 25 \end{align} $
Nilai $ K = 25 , \, $ artinya titik B(-3,4) terletak pada lingkaran $x^2 + y^2 = 25$
$ \begin{align} C(5,-6) \rightarrow K & = x^2 + y^2 \\ K & = 5^2 + (-6)^2 \\ K & = 25 + 36 = 61 \end{align} $
Nilai $ K = 61 > 25 , \, $ artinya titik C(5,-6) terletak di luar lingkaran $x^2 + y^2 = 25$
Contoh :
Tentukan kedudukan titik A(1,3) terhadap lingkaran $ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 16 $ !
Penyelesaian :
*). Kita misalkan : $ K = (x-2)^2 + (y+1)^2 $ , kita akan bandingkan hasilnya dengan 16.
*). Menentukan nilai $ K $ ,
$ \begin{align} A(1,3) \rightarrow K & = (x-2)^2 + (y+1)^2 \\ K & = (1-2)^2 + (3+1)^2 \\ K & = 1 + 16 = 17 \end{align} $
Nilai $ K = 17 > 16 , \, $ artinya titik A(1,3) terletak di luar lingkaran $ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 16 $
1). Tentukan kedudukan titik A(-1,2) terhadap lingkaran $ x^2 + y^2 -2x + 3y - 13 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Kita misalkan : $ K = x^2 + y^2 -2x + 3y - 13 $ , kita akan bandingkan hasilnya dengan 0.
*). Menentukan nilai $ K $ ,
$ \begin{align} A(-1,2) \rightarrow K & = x^2 + y^2 -2x + 3y - 13 \\ K & = (-1)^2 + 2^2 -2(-1) + 3.2 - 13 \\ K & = 1 + 4 + 2 + 6 - 13 = 0 \end{align} $
Nilai $ K = 0 , \, $ artinya titik A(-1,2) terletak pada lingkaran $ x^2 + y^2 -2x + 3y - 13 = 0 $
2). Agar titik B(-2,1) terletak pada lingkaran $ x^2 + y^2 - 3x + py - 3 = 0 , \, $ tentukan nilai $ p $ !
Penyelesaian :
*). Kita misalkan : $ K = x^2 + y^2 - 3x + py - 3 $ , kita akan bandingkan hasilnya dengan 0.
*). Menentukan nilai $ K $ ,
$ \begin{align} B(-2,1) \rightarrow K & = x^2 + y^2 - 3x + py - 3 \\ K & = (-2)^2 + 1^2 - 3(-2) + p.1 - 3 \\ K & = 4 + 1 + 6 + p - 3 \\ K & = 8 + p \end{align} $
*). Agar titik B terletak pada lingkaran, syaratnya : Nilai $ K = 0 $
$ \begin{align} K = 0 \rightarrow 8 + p = 0 \rightarrow p = -8 \end{align} $
Jadi, nilai $ p = -8 $ .
Contoh :
1). Tentukan posisi garis $ x - y + 1 = 0 $ terhadap lingkaran $ x^2 + y^2 = 25$. Jika berpotongan, tentukan titik potongnya. !
Penyelesaian :
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan lingkaran
$ x - y + 1 = 0 \rightarrow y = x + 1 $
Persamaan lingkarannya : $ x^2 + y^2 = 25 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = 25 \\ x^2 + (x+1)^2 & = 25 \\ x^2 + (x^2 + 2x + 1) & = 25 \\ 2x^2 + 2x + - 24 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x^2 + x + - 12 & = 0 \\ a = 1, \, b = 1, \, c & = -12 \\ D & = b^2 - 4ac \\ & = 1^2 - 4.1.(-12) \\ & = 1 + 48 \\ & = 49 \end{align} $
Diperoleh $ D = 49 > 0 \, $ , artinya kedudukan garis $ y = x + 1 \, $ memotong lingkaran $ x^2 + y^2 = 25 $ di dua titik yang berbeda.
*). Menentukan titik potong garis dan lingkaran.
$ \begin{align} x^2 + x + - 12 & = 0 \\ (x - 3)(x + 4 ) & = 0 \\ x = 3 \vee x & = -4 \\ x = 3 \rightarrow y & = x + 1 \\ y & = 3 + 1 = 4 \\ x = -4 \rightarrow y & = x + 1 \\ y & = -4 + 1 = -3 \end{align} $
Sehingga titik potong garis terhadap lingkaran adalah (3,4) dan (-4,-3).
2). Diketahui garis lurus $ g $ dengan persamaan $ y = mx + 2 $ dan lingkaran L dengan persamaan $x^2 + y^2 = 4$. Agar garis $ g $ memotong lingkaran L di dua titik yang berbeda, tentukan nilai $m $ yang memenuhi.!
Penyelesaian :
*). Substitusi garis ke persamaan lingkaran.
$ \begin{align} y = mx + 2 \rightarrow x^2 + y^2 & = 4 \\ x^2 + (mx+2)^2 & = 4 \\ x^2 + (m^2x^2 + 4mx + 4) & = 4 \\ (m^2+1)x^2 + 4mx & = 0 \\ a = m^2 + 1, \, b = 4m, \, c & = 0 \\ D & = b^2 - 4ac \\ & = (4m)^2 - 4.(m^2+1).0 \\ & = 16m^2 - 0 \\ & = 16m^2 \end{align} $
*). Syarat garis memotong lingkaran di dua titik : $ D > 0 $
$ \begin{align} D & > 0 \\ 16m^2 & > 0 \\ m^2 & > 0 \end{align} $
Karena nilai $ m^2 \, $ selalu positif, maka $ m^2 > 0 \, $ terpenuhi untuk semua nilai $ m \, $ kecuali $ m = 0 . \, $
Jadi, solusinya : $ \{ m \in R , \, m \neq 0 \} \, $ atau bisa ditulis $ \{ m < 0 \vee m > 0 \} $ .
Kedudukan titik A($x_1,y_1$) pada lingkaran : $ x^2 + y^2 = r^2 $
Kita misalkan ruas kiri persamaan lingkarannya sebagai $ K = x^2 + y^2 $
Nilai $ K \, $ bisa kita peroleh dengan mensubstitusi titik A($x_1,y_1$), yaitu $ K = x_1^2 + y_1^2 $ . Dari nilai $ K $ inilah kita bisa tentukan kedudukan titik A terhadap lingkaran dengan membandingkannya terhadap nilai $ r^2 $, yaitu :
*). Jika $ K < r^2 , \, $ maka titik A terletak di dalam lingkaran.
*). Jika $ K = r^2 , \, $ maka titik A terletak pada lingkaran.
*). Jika $ K > r^2 , \, $ maka titik A terletak di luar lingkaran.
Nilai $ K \, $ bisa kita peroleh dengan mensubstitusi titik A($x_1,y_1$), yaitu $ K = x_1^2 + y_1^2 $ . Dari nilai $ K $ inilah kita bisa tentukan kedudukan titik A terhadap lingkaran dengan membandingkannya terhadap nilai $ r^2 $, yaitu :
*). Jika $ K < r^2 , \, $ maka titik A terletak di dalam lingkaran.
*). Jika $ K = r^2 , \, $ maka titik A terletak pada lingkaran.
*). Jika $ K > r^2 , \, $ maka titik A terletak di luar lingkaran.
Tentukan posisi titik-titik berikut terhadap lingkaran $x^2 + y^2 = 25$
1). A(3,1)
2). B(-3,4)
3). C(5,-6)
Penyelesaian :
*). Kita misalkan : $ K = x^2 + y^2 $ , kita akan bandingkan hasilnya dengan 25.
*). Menentukan nilai $ K $ setiap titik :
$ \begin{align} A(3,1) \rightarrow K & = x^2 + y^2 \\ K & = 3^2 + 1^2 \\ K & = 9 + 1 = 10 \end{align} $
Nilai $ K = 10 < 25 , \, $ artinya titik A(3,1) terletak di dalam lingkaran $x^2 + y^2 = 25$
$ \begin{align} B(-3,4) \rightarrow K & = x^2 + y^2 \\ K & = (-3)^2 + 4^2 \\ K & = 9 + 16 = 25 \end{align} $
Nilai $ K = 25 , \, $ artinya titik B(-3,4) terletak pada lingkaran $x^2 + y^2 = 25$
$ \begin{align} C(5,-6) \rightarrow K & = x^2 + y^2 \\ K & = 5^2 + (-6)^2 \\ K & = 25 + 36 = 61 \end{align} $
Nilai $ K = 61 > 25 , \, $ artinya titik C(5,-6) terletak di luar lingkaran $x^2 + y^2 = 25$
Kedudukan titik A($x_1,y_1$) pada lingkaran : $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
Kita misalkan ruas kiri persamaan lingkarannya sebagai $ K = (x-a)^2 + (y-b)^2 $
Nilai $ K \, $ bisa kita peroleh dengan mensubstitusi titik A($x_1,y_1$), yaitu $ K = (x_1-a)^2 + (y_1-b)^2 $ . Dari nilai $ K $ inilah kita bisa tentukan kedudukan titik A terhadap lingkaran dengan membandingkannya terhadap nilai $ r^2 $, yaitu :
*). Jika $ K < r^2 , \, $ maka titik A terletak di dalam lingkaran.
*). Jika $ K = r^2 , \, $ maka titik A terletak pada lingkaran.
*). Jika $ K > r^2 , \, $ maka titik A terletak di luar lingkaran.
Nilai $ K \, $ bisa kita peroleh dengan mensubstitusi titik A($x_1,y_1$), yaitu $ K = (x_1-a)^2 + (y_1-b)^2 $ . Dari nilai $ K $ inilah kita bisa tentukan kedudukan titik A terhadap lingkaran dengan membandingkannya terhadap nilai $ r^2 $, yaitu :
*). Jika $ K < r^2 , \, $ maka titik A terletak di dalam lingkaran.
*). Jika $ K = r^2 , \, $ maka titik A terletak pada lingkaran.
*). Jika $ K > r^2 , \, $ maka titik A terletak di luar lingkaran.
Tentukan kedudukan titik A(1,3) terhadap lingkaran $ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 16 $ !
Penyelesaian :
*). Kita misalkan : $ K = (x-2)^2 + (y+1)^2 $ , kita akan bandingkan hasilnya dengan 16.
*). Menentukan nilai $ K $ ,
$ \begin{align} A(1,3) \rightarrow K & = (x-2)^2 + (y+1)^2 \\ K & = (1-2)^2 + (3+1)^2 \\ K & = 1 + 16 = 17 \end{align} $
Nilai $ K = 17 > 16 , \, $ artinya titik A(1,3) terletak di luar lingkaran $ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 16 $
Kedudukan titik A($x_1,y_1$) pada lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
Kita misalkan ruas kiri persamaan lingkarannya sebagai $ K = x^2 + y^2 + Ax + By + C $
Nilai $ K \, $ bisa kita peroleh dengan mensubstitusi titik A($x_1,y_1$), yaitu $ K = x_1^2 + y_1^2 + Ax_1 + By_1 + C $ . Dari nilai $ K $ inilah kita bisa tentukan kedudukan titik A terhadap lingkaran dengan membandingkannya terhadap nilai $ 0 $, yaitu :
*). Jika $ K < 0 , \, $ maka titik A terletak di dalam lingkaran.
*). Jika $ K = 0 , \, $ maka titik A terletak pada lingkaran.
*). Jika $ K > 0 , \, $ maka titik A terletak di luar lingkaran.
Nilai $ K \, $ bisa kita peroleh dengan mensubstitusi titik A($x_1,y_1$), yaitu $ K = x_1^2 + y_1^2 + Ax_1 + By_1 + C $ . Dari nilai $ K $ inilah kita bisa tentukan kedudukan titik A terhadap lingkaran dengan membandingkannya terhadap nilai $ 0 $, yaitu :
*). Jika $ K < 0 , \, $ maka titik A terletak di dalam lingkaran.
*). Jika $ K = 0 , \, $ maka titik A terletak pada lingkaran.
*). Jika $ K > 0 , \, $ maka titik A terletak di luar lingkaran.
Penyelesaian :
*). Kita misalkan : $ K = x^2 + y^2 -2x + 3y - 13 $ , kita akan bandingkan hasilnya dengan 0.
*). Menentukan nilai $ K $ ,
$ \begin{align} A(-1,2) \rightarrow K & = x^2 + y^2 -2x + 3y - 13 \\ K & = (-1)^2 + 2^2 -2(-1) + 3.2 - 13 \\ K & = 1 + 4 + 2 + 6 - 13 = 0 \end{align} $
Nilai $ K = 0 , \, $ artinya titik A(-1,2) terletak pada lingkaran $ x^2 + y^2 -2x + 3y - 13 = 0 $
2). Agar titik B(-2,1) terletak pada lingkaran $ x^2 + y^2 - 3x + py - 3 = 0 , \, $ tentukan nilai $ p $ !
Penyelesaian :
*). Kita misalkan : $ K = x^2 + y^2 - 3x + py - 3 $ , kita akan bandingkan hasilnya dengan 0.
*). Menentukan nilai $ K $ ,
$ \begin{align} B(-2,1) \rightarrow K & = x^2 + y^2 - 3x + py - 3 \\ K & = (-2)^2 + 1^2 - 3(-2) + p.1 - 3 \\ K & = 4 + 1 + 6 + p - 3 \\ K & = 8 + p \end{align} $
*). Agar titik B terletak pada lingkaran, syaratnya : Nilai $ K = 0 $
$ \begin{align} K = 0 \rightarrow 8 + p = 0 \rightarrow p = -8 \end{align} $
Jadi, nilai $ p = -8 $ .
Kedudukan garis terhadap suatu lingkaran
Untuk menentukan kedudukan garis terhadap suatu lingkaran, kita substitusikan garis ke persamaan lingkaran kemudian kita tentukan nilai Diskriminannya ($ D = b^2 - 4ac $). Ada tiga kemungkinan nilai D, yaitu :
i). Jika $ D < 0 $ , maka persamaan garis terletak di luar lingkaran , dan tidak memotong lingkaran atau jarak pusat lingkaran ke garis lebih dari jari-jari lingkaran ($k > r$).
ii). Jika $ D = 0 $, maka persamaan garis terletak pada lingkaran dan memotong lingkaran di satu titik atau jarak pusat lingkaran ke garis sama dengan jari-jari lingkaran ($k = r$), atau bisa disebut juga garis bersinggungan dengan lingkaran.
iii). Jika $D > 0 $, maka persamaan garis terletak di dalam lingkaran , dan memotong lingkaran di dua titik atau jarak pusat lingkaran ke garis lebih kecil dari jari-jari lingkaran ($k < r$).
dimana $ k \, $ menyatakan jarak pusat lingkaran ke garis. Silahkan baca materi "jarak titik ke garis".
i). Jika $ D < 0 $ , maka persamaan garis terletak di luar lingkaran , dan tidak memotong lingkaran atau jarak pusat lingkaran ke garis lebih dari jari-jari lingkaran ($k > r$).
ii). Jika $ D = 0 $, maka persamaan garis terletak pada lingkaran dan memotong lingkaran di satu titik atau jarak pusat lingkaran ke garis sama dengan jari-jari lingkaran ($k = r$), atau bisa disebut juga garis bersinggungan dengan lingkaran.
iii). Jika $D > 0 $, maka persamaan garis terletak di dalam lingkaran , dan memotong lingkaran di dua titik atau jarak pusat lingkaran ke garis lebih kecil dari jari-jari lingkaran ($k < r$).
dimana $ k \, $ menyatakan jarak pusat lingkaran ke garis. Silahkan baca materi "jarak titik ke garis".
1). Tentukan posisi garis $ x - y + 1 = 0 $ terhadap lingkaran $ x^2 + y^2 = 25$. Jika berpotongan, tentukan titik potongnya. !
Penyelesaian :
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan lingkaran
$ x - y + 1 = 0 \rightarrow y = x + 1 $
Persamaan lingkarannya : $ x^2 + y^2 = 25 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = 25 \\ x^2 + (x+1)^2 & = 25 \\ x^2 + (x^2 + 2x + 1) & = 25 \\ 2x^2 + 2x + - 24 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x^2 + x + - 12 & = 0 \\ a = 1, \, b = 1, \, c & = -12 \\ D & = b^2 - 4ac \\ & = 1^2 - 4.1.(-12) \\ & = 1 + 48 \\ & = 49 \end{align} $
Diperoleh $ D = 49 > 0 \, $ , artinya kedudukan garis $ y = x + 1 \, $ memotong lingkaran $ x^2 + y^2 = 25 $ di dua titik yang berbeda.
*). Menentukan titik potong garis dan lingkaran.
$ \begin{align} x^2 + x + - 12 & = 0 \\ (x - 3)(x + 4 ) & = 0 \\ x = 3 \vee x & = -4 \\ x = 3 \rightarrow y & = x + 1 \\ y & = 3 + 1 = 4 \\ x = -4 \rightarrow y & = x + 1 \\ y & = -4 + 1 = -3 \end{align} $
Sehingga titik potong garis terhadap lingkaran adalah (3,4) dan (-4,-3).
2). Diketahui garis lurus $ g $ dengan persamaan $ y = mx + 2 $ dan lingkaran L dengan persamaan $x^2 + y^2 = 4$. Agar garis $ g $ memotong lingkaran L di dua titik yang berbeda, tentukan nilai $m $ yang memenuhi.!
Penyelesaian :
*). Substitusi garis ke persamaan lingkaran.
$ \begin{align} y = mx + 2 \rightarrow x^2 + y^2 & = 4 \\ x^2 + (mx+2)^2 & = 4 \\ x^2 + (m^2x^2 + 4mx + 4) & = 4 \\ (m^2+1)x^2 + 4mx & = 0 \\ a = m^2 + 1, \, b = 4m, \, c & = 0 \\ D & = b^2 - 4ac \\ & = (4m)^2 - 4.(m^2+1).0 \\ & = 16m^2 - 0 \\ & = 16m^2 \end{align} $
*). Syarat garis memotong lingkaran di dua titik : $ D > 0 $
$ \begin{align} D & > 0 \\ 16m^2 & > 0 \\ m^2 & > 0 \end{align} $
Karena nilai $ m^2 \, $ selalu positif, maka $ m^2 > 0 \, $ terpenuhi untuk semua nilai $ m \, $ kecuali $ m = 0 . \, $
Jadi, solusinya : $ \{ m \in R , \, m \neq 0 \} \, $ atau bisa ditulis $ \{ m < 0 \vee m > 0 \} $ .
Posting Komentar untuk "Kedudukan Titik dan Garis terhadap Lingkaran"