Mencari Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus

         Untuk artikel kali ini kita akan membahas materi Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus, dimana sebelumnya telah kita bahas materi tentang bentuk umum persamaan garis lurus dan grafiknya yang berupa garis lurus. Jika sobat belum membacanya, silahkan kunjungi artikel "Persamaan Garis Lurus dan Grafiknya". Pada materi kali ini, kita akan bagi materinya menjadi tiga bagian yaitu membahas tentang gradien terlebih dahulu kemudian membahas tentang cara menyusun persamaan garis lurus yang diketahui dari berbagai kondisi serta membahas tentang konsep jarak dan tiga titik yang terletak pada satu garis lurus. Langsung saja berikut materinya,

Gradien persamaan garis lurus

Pengertian dan cara menentukan gradien suatu garis lurus

       Gradien suatu garis lurus merupakan ukuran kemiringan suatu garis terhadap garis horizontal. Gradien suatu garis bisa bernilai positif dan negatif. Suatu garis akan bergradien positif jika garisnya naik dari kiri ke kanan dan garis akan bergradien negatif jika garisnya turun dari kiri ke kanan. Gradien suatu garis lurus biasanya disimbolkan dengan huruf $ m $

Rumus umum kemiringan atau gradien suatu garis lurus :

Cara Menentukan nilai Gradien garis lurus :

*). Gradien garis melalui dua buah titik ($x_1,y_1$) dan ($x_2,y_2$)

Rumus gradien ($m$) : $ m = \frac{\text{Selisih } y }{\text{selish } x } = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \, $ atau $ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $
*). Diketahui persamaan garisnya :
       *). $ y = ax + b \rightarrow m = a $
       *). $ ax+by=c \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{a}{b} $
*). Diketahui grafiknya (garis pada diagram cartesius)

Garis melalui titik ($x_1,y_1) = (0,a$) dan ($x_2,y_2) = (b,0$), gradiennya :
gradien : $ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - a}{b - 0} = - \frac{a}{b} \, $ atau $ \, m = - \frac{\text{nilai pada } y}{\text{nilai pada } x} $
*). Diketahui besarnya sudut terhadap sumbu X positif

Misalkan besar sudutnya sebesar $ \alpha , \, $ maka gradiennya : $ m = \tan \alpha $

Contoh
1). Suatu garis lurus melalui titik (2,1) dan (-3, 5). Tentukan nilai gradiennya.!
Penyelesaian :
*). Garis melalui titik $(x_1,y_1) = (2,1) \, $ dan $ (x_2,y_2) = (-3,5) $
*). Menentukan besarnya gradien
$ \begin{align} m & = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\ & = \frac{5 - 1}{(-3) - 2} \\ & = \frac{4}{-5} \\ & = - \frac{4}{5} \end{align} $
Diperoleh gradien garisnya adalah $ - \frac{4}{5} \, $ . Karena gradiennya negatif, maka garis tersebut menurun dari kiri ke kanan.

2). Tentukan besarnya gradien dari persamaan garis berikut ini !
a. $ y = 2x - 3 $
b. $ 3x + 2y = 2 $
c. $ 5y - 2x + 5 = 0 $
d. $ y = \frac{-3x+5}{2} $
Penyelesaian :
a. $ y = 2x - 3 $
berdasarkan $ y = ax + b \rightarrow m = a , \, $ maka $ y = 2x - 3 \rightarrow m = 2 $
b. $ 3x + 2y = 2 $
Cara I : menggunakan $ y = ax + b \rightarrow m = a $
$ 3x + 2y = 2 \rightarrow 2y = -3x + 2 \rightarrow y = -\frac{3}{2}x + 1 \rightarrow m = -\frac{3}{2} $
Cara II : $ ax+by=c \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{a}{b} $
$ 3x + 2y = 2 \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = -\frac{3}{2} $
c. $ 5y - 2x + 5 = 0 $
Cara I : menggunakan $ y = ax + b \rightarrow m = a $
$ 5y - 2x + 5 = 0 \rightarrow 5y = 2x - 5 \rightarrow y = \frac{2}{5}x - 1 \rightarrow m = \frac{2}{5} $
Cara II : $ ax+by=c \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{a}{b} $
$ 5y - 2x + 5 = 0 \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = -\frac{-2}{5} = \frac{2}{5} $
a. $ y = \frac{-3x+5}{2} $
berdasarkan $ y = ax + b \rightarrow m = a , \, $ maka $ y = \frac{-3x+5}{2} = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2} \rightarrow m = -\frac{3}{2} $

3). Dari garis berikut ini, tentukan gradiennya. !

Penyelesaian :
*). Gambar 1.
gradiennya : $ m = - \frac{\text{nilai pada } y}{\text{nilai pada } x} = -\frac{4}{2} = -2 $
*). Gambar 2.
gradiennya : $ m = - \frac{\text{nilai pada } y}{\text{nilai pada } x} = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2} $

4). Suatu garis membentuk sudut $ 45^\circ \, $ terhadap sumbu X positif, tentukan besarnya gradien garis tersebut!
Penyelesaian :
Gradiennya : $ m = \tan 45^\circ = 1 $
Untuk nilai $ \tan 45^\circ \, $ bisa kita lihat pada tabel trigonometri.

Menyusun persamaan garis lurus (PGL)

Cara Menyusun atau Menentukan persamaan garis lurus (PGL)

       Berikut cara Menyusun persamaan garis lurus,
*). Garis melalui dua titik ($x_1,y_1$) dan ($x_2,y_2$)
       PGL : $ \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} $
*). Garis melalui satu titik ($x_1,y_1$) dan diketahui gradiennya ($m$)
       PGL : $ y - y_1 = m(x-x_1) $
*). Diketahui garisnya

Garis melalui dua titik ($x_1,y_1) = (0,a$) dan ($x_2,y_2) = (b,0$), sehingga
PGL : $ \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \rightarrow \frac{y-a}{0-a} = \frac{x-0}{b-0} \rightarrow ax + by = ab $

Contoh :
1). Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (1,-2) dan (3,4) !
Penyelesaian :
*). Garis melalui titik ($x_1,y_1) = (1,-2$) dan ($x_2,y_2) = (3,4$)
*). Menentukan persamaan garisnya
$ \begin{align} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{y-(-2)}{4-(-2)} & = \frac{x-1}{3-1} \\ \frac{y+2}{6} & = \frac{x-1}{2} \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ \frac{y+2}{3} & = \frac{x-1}{1} \, \, \, \, \text{(kali silang)} \\ y+2 & = 3x - 3 \\ y & = 3x - 5 \end{align} $
Jadi, persamaan garisnya adalah $ y = 3x - 5 $

2). Suatu garis memiliki gradien 2 dan melalui titik (2,3), tentukan persamaan garis tersebut!
Penyelesaian :
*). Diketahui $(x_1,y_1) = (2,3) \, $ dan $ m = 2 $
*). Menyusun persamaan garisnya
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - 3 & = 2(x-2) \\ y - 3 & = 2x - 4 \\ y & = 2x - 4 + 3 \\ y & = 2x - 1 \end{align} $
Jadi, persamaan garis lurusnya adalah $ y = 2x - 1 $

3). Dari grafik berikut ini, tentukanlah persamaan garisnya !

Penyelesaian :
*). Gambar 1.
Pgl : $ ax + by = ab \rightarrow 4x + 2y = 4 \times 2 \rightarrow 4x + 2y = 8 $
*). Gambar 2.
Pgl : $ ax + by = ab \rightarrow -1.x + 2y = -1 \times 2 \rightarrow -x + 2y = -2 $

4). Suatu garis melalui titik (1,2), (3,1), ($0,p$), dan ($2,q$). Tentukan nilai $ 2p + 4q $ !
Penyelesaian :
*). Kita cari persamaan garisnya yang melalui titik (1,2) dan (3,1)!
$ \begin{align} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{y-2}{1-2} & = \frac{x-1}{3-1} \\ \frac{y-2}{-1} & = \frac{x-1}{2} \\ 2y - 4 & = -x + 1 \\ x + 2y & = 5 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ p \, $ dan $ q \, $ dengan cara substitusi ke PGL
$ \begin{align} (x,y)=(0,p) \rightarrow x + 2y & = 5 \\ 0 + 2p & = 5 \\ p & = \frac{5}{2} \\ (x,y)=(2,q) \rightarrow x + 2y & = 5 \\ 2 + 2q & = 5 \\ 2q & = 3 \\ q & = \frac{3}{2} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ 2p + 4q $
$ 2p + 4q = 2. \frac{5}{2} + 4 . \frac{3}{2} = 5 + 6 = 11 $
Jadi, nilai $ 2p + 4q = 11 $ .

Konsep Jarak pada garis lurus

Jarak dan Tiga titik yang terletak pada garis lurus

*). Jarak titik A($x_1,y_1$) dengan titik B($x_2,y_2$) :
       Jarak = $ \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $
*). Jarak titik A($x_1,y_1$) dengan garis $ ax+by+c = 0 $
       Jarak = $ \left| \frac{a.x_1 + b.y_1 +c}{\sqrt{a^2 + b^2} }\right| $
*). Jarak dua garis yang sejajar antara $ ax+by+c_1 = 0 \, $ dengan $ ax+by+c_2 = 0 $
       Jarak = $ \left| \frac{c_2 - c_1}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| $
Catatan : Jika dua garis tersebut tidak sejajar, pasti kedua garis tersebut berpotongan, sehingga jaraknya pasti nol.

*). Tiga titik $(x_1,y_1), \, (x_2,y_2), \, (x_3,y_3) \, $ terletak pada satu garis
       jika memenuhi : $ \frac{y_3-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x_3-x_1}{x_2-x_1} $

Contoh :
1). Tentukan besarnya jarak dari
a). titik A(2,-1) dengan titik B(-1,3)
b). titik P(2,3) dengan garis $ 3x + 4y - 3 = 0 $
c). garis $ 4x - 3y + 4 = 0 $ dengan garis $ -8x + 6y + 2 = 0 $
Penyelesaian :
a). Jarak titik A($x_1,y_1) = (2,-1$) dengan B($x_2,y_2) = (-1,3$)
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \\ & = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (3-(-1))^2} \\ & = \sqrt{(-3)^2 + (4)^2} \\ & = \sqrt{9 + 16} \\ & = \sqrt{25} \\ & = 5 \end{align} $
Jadi, jarak kedua titik adalah 5 satuan.
b). Jarak titik P($x_1,y_1) = (2,3$) dengan garis $ 3x + 4y - 3 = 0 $
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{a.x_1 + b.y_1 +c}{\sqrt{a^2 + b^2} }\right| \\ & = \left| \frac{3.2 + 4.3 - 3}{\sqrt{3^2 + 4^2} }\right| \\ & = \left| \frac{6 + 12 - 3}{\sqrt{25} }\right| \\ & = \left| \frac{15}{5}\right| \\ & = 3 \end{align} $
Jadi, jarak titik dan garisnya adalah 3 satuan.
c). Cek apakah kedua garis sejajar dengan cara cek apakah gradiennya sama.
Untuk materi dua garis sejajar, silahkan baca artikel "Hubungan Dua Garis Lurus".
$ 4x - 3y + 4 = 0 \rightarrow m_1 = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{4}{-3} = \frac{4}{3} $
$ -8x + 6y + 2 = 0 \rightarrow m_2 = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = - \frac{-8}{6} = \frac{4}{3} $
Karena kedua garis memiliki gradien yang sama, maka kedua garis sejajar.
*). Menyamakan nilai koefisien $ x \, $ dan $ y $
$ -8x + 6y + 2 = 0 \, \, \, \text{(bagi -2) } \rightarrow 4x - 3y - 1 = 0 $
*). Jarak garis $ 4x - 3y + 4 = 0 \rightarrow c_1 = 4 \, $ dengan $ 4x - 3y - 1 = 0 \rightarrow c_2 = -1 $
Jarak = $ \left| \frac{c_2 - c_1}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| = \left| \frac{-1 - 4}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} \right| = \left| \frac{-5}{\sqrt{25}} \right| = \left| \frac{-5}{5} \right| = | -1 | = 1 $
Jadi, jarak kedua garis adalah 1 satuan.

2). Jika titik A(2,1), B(3,-5), dan C($a,-1$) terletak pada satu garis, tentukan nilai $ a $ !
Penyelesaian :
*). Titik $(x_1,y_1) = (2,1), \, (x_2,y_2) = (3,-5), \, (x_3,y_3) = (a,-1) \, $
*). Menentukan nilai $ a \, $ dari syarat segaris
$\begin{align} \frac{y_3-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x_3-x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{-1 - 1}{-5-1} & = \frac{a-2}{3-2} \\ \frac{-2}{-6} & = \frac{a-2}{1} \\ \frac{1}{3} & = \frac{a-2}{1} \\ a - 2 & = \frac{1}{3} \\ a & = \frac{1}{3} + 2 \\ a & = \frac{7}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ a = \frac{7}{3} $