Contoh Soal dan Pembahasan Fungsi Komposisi

         Fungsi Komposisi merupakan penggabungan dua fungsi atau lebih. Sebelum mempelajari materi fungsi komposisi ini, kita harus menguasai dulu tentang fungsi, silahkan baca pada artikel "Relasi" dan "Fungsi". Yang kita pelajari kali ini yaitu mengomposisikan dua fungsi atau lebih dan menentukan komponen fungsi yang belum diketahui serta sifat-sifat fungsi komposisi.

Deskripsi dan Definisi Fungsi Komposisi

         Jika diketahui $ A = \{a_1, a_2, a_3\}, B = \{b_1, b_2, b_3, b_4\}$, dan $C = \{c1, c2, c3\}$, maka fungsi $f : A \rightarrow B $ dan $ g : B \rightarrow C $ didefinisikan seperti diagram berikut.

         Dari kedua diagram di atas, dapat diperoleh fungsi yang memetakan langsung dari A ke C sebagai berikut.

         Jika fungsi yang langsung memetakan A ke C itu dianggap fungsi tunggal, maka diagramnya adalah sebagai berikut.

         Fungsi tunggal tersebut merupakan fungsi komposisi dan dilambangkan dengan $g \circ f $ dibaca "fungsi $g$ bundaran $f$". $g \circ f$ adalah fungsi komposisi dengan $f$ dikerjakan lebih dahulu daripada $g$.

Definisi Fungsi Komposisi

       Diketahui, $f$ dan $g$ dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi $f$ dan $g$ ditulis $g \circ f$, didefinisikan sebagai $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ dengan $f$ dikerjakan lebih dahulu daripada $g$.
Ilustrasi diagram panah untuk fungsi komposisi $ (g \circ f )(x) $ :

       Sementara untuk fungsi komposisi $g$ dan $f$ ditulis $f \circ g$, didefinisikan sebagai $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ dengan $g$ dikerjakan lebih dahulu daripada $f$.
Ilustrasi diagram panah untuk fungsi komposisi $ (f \circ g )(x) $ :

Syarat Fungsi Komposisi

       Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi $f$ dan fungsi $g$ dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi $(g \circ f)$ adalah irisan antara daerah hasil fungsi $f$ dan daerah asal fungsi $g$ bukan himpunan kosong, atau $R_f \cap D_g \neq \emptyset $.

Daerah Asal Fungsi Komposisi

*). Misalkan terdefinisi fungsi komposisi $ (g \circ f)(x) \, $ , daerah asalnya ($D_{g \circ f}$) adalah $ D_{g \circ f} = \{ x | x \in D_f , \, f(x) \in D_g \} $

*). Misalkan terdefinisi fungsi komposisi $ (f \circ g)(x) \, $ , daerah asalnya ($D_{f \circ g}$) adalah $ D_{f \circ g} = \{ x | x \in D_g , \, g(x) \in D_f \} $
Keterangan :
$ D_f = \, $ daerah asal fungsi $ f $
$ D_g = \, $ daerah asal fungsi $ g $

Contoh:
1). Fungsi $ f $ dan $ g $ dinyatakan dalam himpunan pasangan berurutan berikut.
$ f = \{ (a,b),(c,d),(e,f),(g,h),(i,j)\} $
$ g = \{ (b,-1),(f,a),(h,5), (1,i), (j,c) \} $
Nyatakan fungsi-fungsi komposisi berikut dalam pasangan berurutan.!
a). $ (g \circ f)(x) \, \, \, $ b). $ (f \circ g(x) $
Penyelesaian :
*). Fungsi $ f $ : $ f(a) = b, \, f(c) = d, \, f(e)=f , \, f(g)=h, \, f(i)=j $
Domain fungsi $ f $ : $ D_f = \{ a,c,e,g,i \} $
*). Fungsi $ g $ : $ g(b)=-1, \, g(f)=a, \, g(h)=5, \, g(1)=i, \, g(j)=c $
Domain fungsi $ g $ : $ D_g = \{ b,f,h,1,j \} $
*). Menentukan fungsi komposisinya
a). $ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $
Kerjakan fungsi $ f $ dahulu dengan memasukkan domain fungsi $ f $ :
$ x = a \rightarrow (g \circ f)(a) = g(f(a)) = g(b) = -1 , \, $ artinya $ (g \circ f)(a) = -1 $
$ x = c \rightarrow (g \circ f)(c) = g(f(c)) = g(d) = - , \, $ artinya $ (g \circ f)(c) = - $
(tidak ada pasangannya)
$ x = e \rightarrow (g \circ f)(e) = g(f(e)) = g(f) = a , \, $ artinya $ (g \circ f)(e) = a $
$ x = g \rightarrow (g \circ f)(g) = g(f(g)) = g(h) = 5 , \, $ artinya $ (g \circ f)(g) = 5 $
$ x = i \rightarrow (g \circ f)(i) = g(f(i)) = g(j) = c , \, $ artinya $ (g \circ f)(i) = c $
Sehingga diperoleh $ g \circ f = \{(a,-1),(e,a),(g,5),(i,c) \} $
b). $ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $
Kerjakan fungsi $ g $ dahulu dengan memasukkan domain fungsi $ g $ :
$ x = b \rightarrow (f \circ g)(a) = f(g(b)) = f(-1) = - , \, $ artinya $ (f \circ g)(b) = - $
(tidak ada pasangannya)
$ x = f \rightarrow (f \circ g)(f) = f(g(f)) = f(a) = b , \, $ artinya $ (f \circ g)(f) = b $
$ x = h \rightarrow (f \circ g)(h) = f(g(h)) = f(5) = - , \, $ artinya $ (f \circ g)(h) = - $
(tidak ada pasangannya)
$ x = 1 \rightarrow (f \circ g)(1) = f(g(1)) = f(i) = j , \, $ artinya $ (f \circ g)(1) = j $
$ x = j \rightarrow (f \circ g)(j) = f(g(j)) = f(c) = d , \, $ artinya $ (f \circ g)(j) = d $
diperoleh $ f \circ g = \{(f,b),(1,j),(j,d) \} $

2). Diketahui fungsi $f: R\rightarrow R $ dengan $ f(x) = x^2 + 2 $ dan fungsi $g: R \rightarrow R $ dengan $ g(x) = \sqrt{1-x} $.
a). Apakah fungsi komposisi $(g \circ f )(x)$ dan $(f \circ g)(x)$ terdefinisi?
b). Tentukan fungsi komposisi $(g \circ f )(x)$ dan $(f \circ g)(x)$ !
Penyelesaian :
*). Menentukan Domain dan Range fungsi $ f $ dan fungsi $ g $ :
Fungsi $ f(x) = x^2 + 2 \rightarrow D_f = \{x | x \in R \} \, $ dan $ R_f = \{y|y \geq 2 \} $
Fungsi $ g(x) = \sqrt{1-x} \rightarrow D_g = \{x | x \leq 1 \} \, $ dan $ R_g = \{y|y \geq 0 \} $
a). Untuk menentukan apakah fungsi komposisi $(g \circ f )(x)$ dan $(f \circ g)(x)$ terdefinisi, diketahui berdasarkan:
*). Jika $R_f \cap D_g \neq \emptyset $ maka $(g \circ f)(x)$ terdefinisi.
$ R_f \cap D_g = \{y|y \geq 2 \} \cap \{x | x \leq 1 \} = \emptyset $
Karena $R_f \cap D_g = \emptyset $ maka $(g \circ f)(x)$ tidak terdefinisi, artinya fungsi komposisi $(g \circ f)(x)$ tidak bisa dicari hasilnya.
*). Jika $R_g \cap D_f \neq \emptyset $ maka $(f \circ g)(x)$ terdefinisi.
$ R_g \cap D_f = \{y|y \geq 0 \} \cap \{x | x \in R \} = \{x | x \geq 0, \, x \in R \} \neq \emptyset $
Karena $R_g \cap D_f \neq \emptyset $ maka $(f \circ g)(x)$ terdefinisi, artinya fungsi komposisi $(f \circ g)(x)$ bisa dicari hasilnya.
b). Menentukan fungsi komposisi $(g \circ f )(x)$ dan $(f \circ g)(x)$
*). Menentukan $ (g \circ f )(x)$
$\begin{align} (g \circ f )(x) & = g(f(x)) \\ & = g(x^2 + 2) \\ & = \sqrt{1-(x^2 + 2)} \\ & = \sqrt{-(x^2+1)} \end{align} $
Karena hasilnya adalah bilangan real (R), maka bentuk $ (g \circ f )(x) = \sqrt{-(x^2+1)} \, $ tidak terdefinisi (dalam akar selalu negatif, padahal pada bilangan real tidak ada akar negatif). Ini artinya fungsi komposisi $ (g \circ f )(x) \, $ tidak ada hasilnya, dan ini sesuai dengan pernyataan a) di atas yaitu bentuk $ (g \circ f )(x) \, $ tidak terdefinisi.
*). Menentukan $ (f \circ g )(x)$
$\begin{align} (f \circ g )(x) & = f(g(x)) \\ & = f(\sqrt{1-x} ) \\ & = (\sqrt{1-x} )^2 + 2 \\ & = (1-x) + 2 \\ & = 3-x \end{align} $
Sehingga diperoleh, $ (f \circ g )(x) = 3-x $

3). Diketahui fungsi $ f(x) = 5x^2 - 3 \, $ dan $ g(x) = 2x + 1 $, tentukan nilai $ (f \circ g)(-1) $ ?
Penyelesaian :
Ada dua cara menyelesaikan soal yaitu dengan mencari fungsi komposisinya atau dengan langsung menghitung nilai komposisinya.
*). Cara I : menentukan fungsi komposisinya
$ \begin{align} (f \circ g)(x) & = f(g(x)) \\ & = f(2x+1) \\ & = 5(2x+1)^2 - 3 \\ & = 5(4x^2 + 4x + 1) - 3 \\ & = 20x^2 + 20x + 5 - 3 \\ (f \circ g)(x) & = 20x^2 + 20x + 2 \end{align} $
Sehingga nilai $ (f \circ g)(-1) $
$ \begin{align} (f \circ g)(x) & = 20x^2 + 20x + 2 \\ (f \circ g)(-1) & = 20(-1)^2 + 20(-1) + 2 \\ & = 20.1 -20 + 2 \\ & = 2 \end{align} $
*). Cara II : Langsung substitusi nilai $ x = -1 $
$\begin{align} (f \circ g)(-1) & = f(g(-1)) \\ & = f(2.(-1) + 1) \\ & = f(-1) \\ & = 5(-1)^2 - 3 \\ & = 5 - 3 \\ & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ (f \circ g)(-1) = 2 $ .

4). Diketahui fungsi $ f(x) = 3x -1 $ dan $ g(x) = 2 - x $. Jika $ (f \circ g)(a) = -1 $ , maka nilai $ a^2 + 2 = .... $
Penyelesaian :
Disini kita tidak perlu mencari bentuk komposisinya dulu, tapi langsung kita substitusi nilai $ x = a $ untuk menentukan nilai $ a $ .
$\begin{align} (f \circ g)(a) & = -1 \\ f(g(a)) & = -1 \\ f(2-a) & = -1 \\ 3(2-a) - 1 & = -1 \\ 6 - 3a - 1 & = -1 \\ 5 - 3a & = -1 \\ 3a & = 6 \\ a & = 2 \end{align} $
sehingga nilai $ a^2 + 2 = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6 $

Sifat-sifat operasi fungsi komposisi

       Bila $f, g$, dan $h$ suatu fungsi, maka:
a. tidak berlaku sifat komutatif, yaitu $(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$;
b. jika $I$ fungsi identitas ($I(x) = x$) berlaku :
$(I \circ f)(x) = (f \circ I)(x) = f(x)$;
c. berlaku sifat asosiatif, yaitu : $(f \circ (g \circ h))(x) = ((f \circ g) \circ h)(x)$.

contoh :
1). Diketahui $f(x) = 2x - 5, g(x) = x^2 +x - 3$.
a. Tentukan $(g \circ f)(x)$.
b. Tentukan $(f \circ g)(x)$. c. Apakah berlaku sifat komutatif: $g \circ f = f \circ g$?
Penyelesaian :
$\begin{align} \text{a. } \, (g\circ f)(x) & = g(f(x)) \\ & = g(2x - 5) \\ & = (2x - 5)^2 + (2x - 5) - 3 \\ & = (4x^2 -20x + 25 ) + (2x - 5) - 3 \\ & = (4x^2 -20x + 25 ) + (2x - 5) - 3 \\ & = 4x^2 - 18x + 17 \\ \\ \text{b. } \, (f \circ g)(x) & = f(g(x)) \\ & = f(x^2 +x - 3) \\ & = 2(x^2 +x - 3) - 5 \\ & = 2x^2 + 2x - 6 - 5 \\ & = 2x^2 + 2x - 11 \end{align} $
c. Tidak berlaku sifat komutatif karena $ (g\circ f)(x) \neq (f \circ g)(x) $ .

2). Diketahui $f(x) = 3x - 7 $ dan $I(x) = x$.
Buktikan $I \circ f = f \circ I = f. $
Pembuktian :
$ \begin{align} (I \circ f)(c) & = I(f(x)) \\ & = I(3x - 7) \\ & = 3x - 7 \\ \\ (f \circ I)(x) & = f(I(x)) \\ & = f(x) \\ & = 3x - 7 \end{align} $
Tampak bahwa $I \circ f = f \circ I = f $ (terbukti).

3). Diketahui $f(x) = x^2, \, g(x) = x + 2$, dan $h(x) = 3x$.
a. Tentukan $(f \circ (g \circ h))(x)$.
b. Tentukan $((f \circ g) \circ h)(x)$.
c. Apakah $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ , mengapa?
Penyelesaian :
a. $ (f \circ (g \circ h))(x) = ... $
$ \begin{align} \text{Misalkan } \, p(x) & = (g \circ h)(x) \\ & = g(h(x)) \\ & = g(3x) \\ & = 3x + 2 \end{align} $
Soalnya menjadi :
$ \begin{align} (f \circ (g \circ h))(x) & = (f \circ (g \circ h)(x)) \\ & = (f \circ p)(x) \\ & = f(p(x)) \\ & = f(3x + 2) \\ & = (3x+2)^2 \\ & = 9x^2 + 12x + 4 \end{align} $
b. $ ((f \circ g) \circ h)(x) = ... $
$ \begin{align} \text{Misalkan } \, q(x) & = (f \circ g)(x) \\ & = f(g(x)) \\ & = f(x+2) \\ & = (x+2)^2 \\ & = x^2 + 4x + 4 \end{align} $
Soalnya menjadi :
$ \begin{align} ((f \circ g) \circ h)(x) & = (q \circ h)(x) \\ & = q(h(x)) \\ & = q(3x) \\ & = (3x)^2 + 4(3x) + 4 \\ & = 9x^2 + 12x + 4 \end{align} $
c. Ya, benar berlaku $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ , karena bersifat asosiatif.

Menentukan komponen pembentuk fungsi komposisi

Menentukan fungsi $ f $ atau fungsi $ g $ dari fungsi komposisinya

       Jika diketahui fungsi komposisinya $ (g \circ f)(x) \, $ atau $ (f \circ g)(x) \, $ dan diketaui salah satu fungsinya bisa fungsi $ f $ atau fungsi $ g $, maka kita diminta menentukan fungsi yang belum diketahui.

Cara Umumnya :
*). yang ditanyakan bagian kanan
       Misal diketahui fungsi $ f $ dan fungsi komposisi $ (f \circ g)(x) $ , kita diminta menentukan fungsi $ g $. Caranya, langsung substitusi bentuk $ g(x) $ ke fungsi $ f $, maksudnya semua variabel $ x $ pada fungsi $ f $ digantikan dengan $ g(x) $.
*). yang ditanyakan bagian kiri
       Misal diketahui fungsi $ f $ dan fungsi komposisi $ (g \circ f)(x) $ , kita diminta menentukan fungsi $ g $. Caranya, substitusi bentuk fungsi $ f(x) $ ke komposisinya, lalu misalkan agar menjadi satu variabel.

1). Diketahui fungsi $ f(x) = 2x - 3 \, $ dan $ (f \circ g)(x) = 4x^2 - 6x + 5 $. Tentukan fungsi $ g(x) $!
Penyelesaian :
$ \begin{align} (f \circ g)(x) & = 4x^2 - 6x + 5 \\ f(g(x)) & = 4x^2 - 6x + 5 \\ 2[g(x)] - 3 & = 4x^2 - 6x + 5 \\ 2[g(x)] & = 4x^2 - 6x + 5 + 3 \\ 2[g(x)] & = 4x^2 - 6x + 8 \\ g(x) & = \frac{4x^2 - 6x + 8}{2} \\ g(x) & = 2x^2 - 3x + 4 \end{align} $
Jadi, diperoleh fungsi $ g(x) = 2x^2 - 3x + 4 $

2). Diketahui fungsi $ g(x) = 3x + 2 \, $ dan $ (f \circ g)(x) = x^2 +x - 3 $. Tentukan fungsi $ f(x) $ nya !
Penyelesaian :
$ \begin{align} (f \circ g)(x) & = x^2 +x - 3 \\ f(g(x)) & = x^2 +x - 3 \\ f(3x+2) & = x^2 +x - 3 \\ \text{misal } p & = 3x+2 \rightarrow x = \frac{p-2}{3} \\ \text{substitusikan } p & = 3x+2 \\ f(3x+2) & = x^2 +x - 3 \\ f(p) & = \left( \frac{p-2}{3} \right)^2 + \left( \frac{p-2}{3} \right) - 3 \\ f(p) & = \frac{p^2-4p + 4}{9} + \frac{p-2}{3} - 3 \\ f(p) & = \frac{p^2-4p + 4}{9} + \frac{3(p-2)}{9} - \frac{27}{9} \\ f(p) & = \frac{p^2-4p + 4}{9} + \frac{3p-6}{9} - \frac{27}{9} \\ f(p) & = \frac{(p^2-4p + 4) + (3p-6) + 27 }{9} \\ f(p) & = \frac{p^2 - p + 25 }{9} \end{align} $
Sehingga diperoleh : $ f(p) = \frac{p^2 - p + 25 }{9} \rightarrow f(x) = \frac{x^2 - x + 25 }{9} $
Jadi, diperoleh fungsi $ f(x) = \frac{x^2 - x + 25 }{9} $