Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Eksponen
Sebelumnya kita telah membahas tentang persamaan eksponen secara mendalam, nah untuk kali ini kita mempelajari kelanjutannya yaitu pertidaksamaan eksponen. Yang namanya pertidaksamaan pasti memuat tanda ketaksamaan seperti $ < , \, \leq , \, > , \, \geq $ . Untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponen, kita harus benar-benar menguasai sifat-sifat eksponen terlebih dahulu.
Pertidaksamaan eksponen untuk tipe sederhana sangatlah mudah, namun pertidaksamaan eksponen lanjut akan lebih sulit dan akan sering dikeluarkan soalnya pada ujian nasional dan soal seleksi masuk perguruan tinggi. Tenang saja, pada artikel ini akan kita pelajari untuk tipe pertidaksamaan eksponen sederhana dan lanjut.
Pertidaksamaan eksponen akan mudah kita pelajari jika kita sudah menguasai sifat-sifat dan persamaan eksponen. Dan perlu diingat juga, apapun jenis pertidaksamaannya, penyelesaiannya langkah-langkahnya sama yaitu : menentukan akar-akarnya, menentukan garis bilangan dan tandanya, arsir daerah yang diminta, dan buatlah himpunan penyelesaiannya. Cara umum penyelesaian pertidaksamaan ini juga berlaku untuk "pertidaksamaan eksponen".
Pertidaksamaan eksponen sederhana maksudnya pertidaksamaan yang ruas kiri dan ruas kanan tanda ketaksamaannya sudah berbentuk pangkat (masing-masing ruas kiri dan kanan terdapat satu suku berbentuk perpangkatan).
Pertidaksamaan eksponen lanjut maksudnya pertidaksamaan eksponen yang bentuknya selain bentuk sederhana di atas, misal bentuknya $ \left( a^{f(x)} \right)^m + a^{f(x)} + c \geq 0 \, $ . Untuk menyelesaikan bentuk ini, biasanya kita misalkan dan akan mengarah ke suatu bentuk persamaan polinomial seperti persamaan kuadrat. Agar lebih jelas, mari kita simak contoh berikut.
Pertidaksamaan eksponen akan mudah kita pelajari jika kita sudah menguasai sifat-sifat dan persamaan eksponen. Dan perlu diingat juga, apapun jenis pertidaksamaannya, penyelesaiannya langkah-langkahnya sama yaitu : menentukan akar-akarnya, menentukan garis bilangan dan tandanya, arsir daerah yang diminta, dan buatlah himpunan penyelesaiannya. Cara umum penyelesaian pertidaksamaan ini juga berlaku untuk "pertidaksamaan eksponen".
Pertidaksamaan Eksponen Sederhana
Untuk $ a \in R, \, $ serta fungsi $ f(x) \, $ dan $ g(x) \, $ , dapat dibentuk pertidaksamaan :
$ a^{f(x)} > a^{g(x)} \, $ atau $ a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \, $ atau $ a^{f(x)} < a^{g(x)} \, $ atau $ a^{f(x)} \leq a^{g(x)} $
Bentuk pertidaksamaan tersebut dapat diselesaikan bergantung dari nilai $ a \, $ (basisnya) :
$ a^{f(x)} > a^{g(x)} \, $ atau $ a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \, $ atau $ a^{f(x)} < a^{g(x)} \, $ atau $ a^{f(x)} \leq a^{g(x)} $
Bentuk pertidaksamaan tersebut dapat diselesaikan bergantung dari nilai $ a \, $ (basisnya) :
(i). Untuk $ a > 1 \, $ , tanda ketaksamaannya tetap (tidak berubah) :
$ a^{f(x)} > a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) > g(x) $
$ a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) \geq g(x) $
$ a^{f(x)} < a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) < g(x) $
$ a^{f(x)} \leq a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) \leq g(x) $
(ii). Untuk $ 0 < a < 1 \, $ , tanda ketaksamaannya berubah (dibalik) :
$ a^{f(x)} > a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) < g(x) $
$ a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) \leq g(x) $
$ a^{f(x)} < a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) > g(x) $
$ a^{f(x)} \leq a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) \geq g(x) $
$ a^{f(x)} > a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) > g(x) $
$ a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) \geq g(x) $
$ a^{f(x)} < a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) < g(x) $
$ a^{f(x)} \leq a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) \leq g(x) $
(ii). Untuk $ 0 < a < 1 \, $ , tanda ketaksamaannya berubah (dibalik) :
$ a^{f(x)} > a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) < g(x) $
$ a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) \leq g(x) $
$ a^{f(x)} < a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) > g(x) $
$ a^{f(x)} \leq a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) \geq g(x) $
Contoh 1.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ 9^{x-1} < 3^{-x+2} \, $ ?
Penyelesaian :
$\begin{align} 9^{x-1} & < 3^{-x+2} \\ (3^2)^{x-1} & < 3^{-x+2} \\ 3^{2x-2} & < 3^{-x+2} \\ \text{(basisnya } a & = 3 > 1 , \text{ dicoret tanpa dibalik)} \\ 2x-2 & < -x + 2 \\ 3x & < 4 \\ x & < \frac{4}{3} \end{align} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ x < \frac{4}{3} \} $
Contoh 2. $\begin{align} 9^{x-1} & < 3^{-x+2} \\ (3^2)^{x-1} & < 3^{-x+2} \\ 3^{2x-2} & < 3^{-x+2} \\ \text{(basisnya } a & = 3 > 1 , \text{ dicoret tanpa dibalik)} \\ 2x-2 & < -x + 2 \\ 3x & < 4 \\ x & < \frac{4}{3} \end{align} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ x < \frac{4}{3} \} $
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ \left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} \geq \left( \frac{1}{8} \right)^{1-x} $ ?
Penyelesaian :
$\begin{align} \left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} & \geq \left( \frac{1}{8} \right)^{1-x} \\ \left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} & \geq \left( \left( \frac{1}{2} \right)^3 \right)^{1-x} \\ \left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} & \geq \left( \frac{1}{2} \right)^{3-3x} \\ \text{(basisnya } a & = \frac{1}{2} < 1 , \text{ ketaksamaan dibalik)} \\ x-2 & \leq 3-3x \\ 4x & \leq 5 \\ x & \leq \frac{5}{4} \end{align} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ x \leq \frac{5}{4} \} $
Contoh 3. $\begin{align} \left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} & \geq \left( \frac{1}{8} \right)^{1-x} \\ \left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} & \geq \left( \left( \frac{1}{2} \right)^3 \right)^{1-x} \\ \left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} & \geq \left( \frac{1}{2} \right)^{3-3x} \\ \text{(basisnya } a & = \frac{1}{2} < 1 , \text{ ketaksamaan dibalik)} \\ x-2 & \leq 3-3x \\ 4x & \leq 5 \\ x & \leq \frac{5}{4} \end{align} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ x \leq \frac{5}{4} \} $
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ 3^{x^2-x+1} \leq 9^{x+\frac{5}{2}} $ ?
Penyelesaian :
$\begin{align} 3^{x^2-x+1} & \leq 9^{x+\frac{5}{2}} \\ 3^{x^2-x+1} & \leq (3^2)^{x+\frac{5}{2}} \\ 3^{x^2-x+1} & \leq 3^{2x+5} \\ \text{(basisnya } a & = 3 > 1 , \text{ ketaksamaan tetap)} \\ x^2-x+1 & \leq 2x+5 \\ x^2 - 3x - 4 & \leq 0 \\ (x+1)(x-4) & \leq 0 \\ x = -1 \vee x & = 4 \end{align} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ -1 \leq x \leq 4 \} $
$\begin{align} 3^{x^2-x+1} & \leq 9^{x+\frac{5}{2}} \\ 3^{x^2-x+1} & \leq (3^2)^{x+\frac{5}{2}} \\ 3^{x^2-x+1} & \leq 3^{2x+5} \\ \text{(basisnya } a & = 3 > 1 , \text{ ketaksamaan tetap)} \\ x^2-x+1 & \leq 2x+5 \\ x^2 - 3x - 4 & \leq 0 \\ (x+1)(x-4) & \leq 0 \\ x = -1 \vee x & = 4 \end{align} $
Pertidaksamaan Eksponen Lanjut
Contoh
Untuk pendalaman soal-soal pertidaksamaan eksponen, sobat bisa lihat pada artikel kumpulan soal-soal Eksponen. Dengan latihan mengerjakan soal-soal lebih banyak lagi, maka pasti kita akan lebih mudah dalam menghadapi atau menyelesaikan soal-soal yang akan kita kerjakan nantinya. Semoga bermanfaat materi ini. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ 2^{2x+1} - 17.2^x + 8 > 0 $ ?
Penyelesaian :
$\begin{align} 2^{2x+1} - 17.2^x + 8 & > 0 \\ 2^2x.2^1 - 17.2^x + 8 & > 0 \\ 2.2^2x - 17.2^x + 8 & > 0 \\ 2.(2^x)^2 - 17.2^x + 8 & > 0 \\ \text{(misalkan } p = 2^x & , \text{ substitusikan)} \\ 2.(p)^2 - 17.p + 8 & > 0 \\ 2p^2 - 17p + 8 & > 0 \\ (2p-1)(p-8) & > 0 \\ p = \frac{1}{2} \vee p & = 8 \\ p=\frac{1}{2} \rightarrow 2^x & = \frac{1}{2} \\ 2^x & = 2^{-1} \\ x & = -1 \\ p=8 \rightarrow 2^x & = 8 \\ 2^x & = 2^3 \\ x & = 3 \end{align} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ -1 < x < 3 \} $
$\begin{align} 2^{2x+1} - 17.2^x + 8 & > 0 \\ 2^2x.2^1 - 17.2^x + 8 & > 0 \\ 2.2^2x - 17.2^x + 8 & > 0 \\ 2.(2^x)^2 - 17.2^x + 8 & > 0 \\ \text{(misalkan } p = 2^x & , \text{ substitusikan)} \\ 2.(p)^2 - 17.p + 8 & > 0 \\ 2p^2 - 17p + 8 & > 0 \\ (2p-1)(p-8) & > 0 \\ p = \frac{1}{2} \vee p & = 8 \\ p=\frac{1}{2} \rightarrow 2^x & = \frac{1}{2} \\ 2^x & = 2^{-1} \\ x & = -1 \\ p=8 \rightarrow 2^x & = 8 \\ 2^x & = 2^3 \\ x & = 3 \end{align} $
Posting Komentar untuk "Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Eksponen"