Sifat Pangkat (Eksponen)

         Untuk memudahkan dalam mengerjakan bentuk eksponen, kita harus mengetahui sifat-sifat eksponen yang akan digunakan dalam menyelesaikan soal-soal. Sifat-sifat eksponen ini sangat penting dan berperan paling utama dalam perpangkatan, sehingga jika sobat ingin mantap dan mudah dalam menguasai serta mengerjakan soal-soal eksponen , maka kita harus benar-benar menguasai sifat-sifatnya terlebih dahulu dengan baik dan benar.

         Ada banyak Sifat - sifat Eksponen atau Perpangkatan yang harus kita hafalkan, namun perlu diingat juga hafal saja tidak cukup, tetapi kita harus tahu bagaimana penggunaan setiap sifat eksponen yang ada dengan baik. Jika kita sudah bisa mengingat dan menggunakan semua sifat eksponen tersbut baru bisa kita dikatan berhasil dalam mempelajarinya. Teman-teman tenang saja, pada artikel ini sudah kita siapkan sifat-sifat beserta contoh soalnya masing-masing.

         Soal-soal yang berkaitan langsung dengan Sifat - sifat Eksponen atau Perpangkatan pasti selalu ada setiap tahunnya baik untuk ujian nasional maupun tes seleksi masuk perguruan tinggi. Artinya dengan menguasai sifat-sifat eksponen secara baik, maka minimal ada satu soal yang sudah pasti bisa kita kerjakan. Untuk memperdalam penggunaan sifat-sifat eksponen, silahkan teman-teman baca dan kerjakan kumpulan soal-soal ekponen yang ada.

Sifat-sifat eksponen Berdasarkan Pangkatnya

         Sifat-sifat eksponen bisa dibagi berdasarkan pangkatnya, yaitu pangkat bulat positif, pangkat nol, pangkat bulat negatif, dan pangkat pecahan.

(i). Pangkat bulat positif ($m \, $ dan $ n \, $ bulat positif)

1). $ a^m.a^n = a^{m+n} $
2). $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $
3). $ (a^m)^n = a^{m.n} $
4). $ (ab)^m = a^m.b^m $
5). $ \left( \frac{a}{b} \right)^m = \frac{a^m}{b^m} $

(ii). Pangkat nol

       $ a^0 = 1, \, $ dengan syarat $ a \neq 0 $

(iii). Pangkat bulat negatif ($ n \, $ positif)

       $ a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \, $ atau $ \frac{1}{a^{-n}} = a^n $

(iv). Pangkat bilangan pecahan

1). $ a^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{a} $
2). $ a^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m $

       
Berikut beberapa contoh untuk sifat-sifat eksponen yang telah disebutkan di atas.

Contoh 1.

Tentukan nilai dari : $ 2^3 . 2^4 \, $ dan $ 5^2.5^2 $ ?

Penyelesaian :
*). $ 2^3 . 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128 $
*). $ 5^2 . 5^2 = 5^{2+2} = 5^4 = 625 $

Contoh 2.

Tentukan nilai dari : $ \frac{5^4}{5^3} \, $ dan $ \frac{7^8}{7^6} $ ?

Penyelesaian :
*). $ \frac{5^4}{5^3} = 5^{4-3} = 5^1 = 5 $
*). $ \frac{7^8}{7^6} = 7^{8-6} = 7^2 = 49 $

Contoh 3.

Tentukan nilai dari : $ (3^2)^2 \, $ ?

Penyelesaian :
*). $ (3^2)^2 = 3^{2.2} = 3^4 = 81 $

Contoh 4.

Tentukan nilai dari : $ (2.3)^2 \, $ dan $ 5^3.2^3 $ ?

Penyelesaian :
*). $ (2.3)^2 = 2^2 . 3^2 = 4.9 = 36 $
*). $ 5^3.2^3 = (5.2)^3 = 10^3 = 1000 $

Contoh 5.

Tentukan nilai dari : $ \left( \frac{2}{5} \right)^2 \, $ dan $ \frac{6^3}{2^3} $ ?

Penyelesaian :
*). $ \left( \frac{2}{5} \right)^2 = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25} $
*). $ \frac{6^3}{2^3} = \left( \frac{6}{2} \right)^3 = 3^3 = 27 $

Contoh 6.

Tentukan nilai dari : $ 5^0 \, $ dan $ \left( - \frac{1}{3} \right)^0 $ ?

Penyelesaian :
*). $ 5^0 = 1 $
*). $ \left( - \frac{1}{3} \right)^0 = 1 $

Contoh 7.

Tentukan nilai dari : $ 2^{-3} , \, $ dan $ \frac{1}{2^{-2}} , \, $ serta $ \frac{3}{2^{-4}} $ ?

Penyelesaian :
*). $ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} $
*). $ \frac{1}{2^{-2}} = 2^2 = 4 $
*). $ \frac{3}{2^{-4}} = 3. 2^4 = 3. 16 = 48 $

Contoh 8.

Tentukan nilai dari : $ 4^\frac{1}{2} \, $ dan $ 3^\frac{1}{5} $ ?

Penyelesaian :
*). $ 4^\frac{1}{2} = \sqrt[2]{4} = \sqrt{4} = 2 $
*). $ 3^\frac{1}{5} = \sqrt[5]{3} $

Contoh 9.

Tentukan nilai dari : $ 3^\frac{2}{3} \, $ dan $ 16^\frac{3}{4} $ ?

Penyelesaian :
*). $ 3^\frac{2}{3} = \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9} $
*). $ 16^\frac{3}{4} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8 \, $ atau
cara II : $ 16^\frac{3}{4} = (2^4)^\frac{3}{4} = 2^{4. \frac{3}{4}} = 2^3 = 8 $

Catatan : untuk $ n = 2 \, $ , angka 2 tidak perlu ditulis pada pangkat pecahan, karena sudah umum dikenal sebagai bentuk akar.

Contoh

*). $ 2^\frac{1}{2} \, $ dapat ditulis sebagai $ \sqrt{2} $
caranya : $ 2^\frac{1}{2} = \sqrt[2]{2} = \sqrt{2} $
*). $ 3^\frac{5}{2} \, $ dapat ditulis sebagai $ \sqrt{3^5} $
caranya : $ 3^\frac{5}{2} = \sqrt[2]{3^5} = \sqrt{3^5} $

Sifat eksponen dengan basis negatif

$ (-a)^n = \left\{ \begin{array}{cc} = a^n & , \text{untuk } \, n \, \text{ genap} \\ = -(a^n) & , \text{untuk } \, n \, \text{ ganjil} \end{array} \right. $

Contoh 10.

Tentukan nilai dari : $ (-2)^4 \, $ dan $ (-2)^5 $ ?

Penyelesaian :
*). $ (-2)^4 = 2^4 = 16 \, $ (pangkat genap, hasil positif)
*). $ (-2)^5 = -(2^5) = - 32 $ (pangkat ganjil, hasil negatif)

         Semoga contoh-contoh soal di atas bisa membantu kita dalam memahami sifat-sifat eksponen yang saya kira jumlahnya cukup banyak. Cara terbaik untuk mengingat semua fifat-sifat eksponen yang ada adalah dengan terus dan memperbanyak latihan soal-soal eksponen, kami yakin dengan sendirinya teman-teman akan ingat dan akan lebih menguasai termasuk cara penggunaan setiap sifat.