Pembuktian Rumus ABC dengan Kuadrat Sempurna

         Salah satu cara untuk menentukan akar-akar atau penyelesaian Persamaan Kuadrat $ ax^2+bx+c=0 \, $ adalah menggunakan rumus ABC. Bagi sobat yang sangat mengalami kesulitan dalam pemfaktoran pada persamaan kuadrat, Rumus ABC ini adalah cara termudah, tinggal menghafal rumusnya saja. Berikut adalah rumus ABC nya :

Rumus ABC : $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $

      Untuk membuktikan rumus ABC di atas, kita akan menggunakan cara melengkapkan kuadrat sempurna. Sobat masih ingatkan cara melengkapkan kuadrat sempurna? sifat yang digunakan pada kuadrat sempurna adalah $ x^2+px=(x+\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 \, $ .
Berikut pembuktian rumus ABC dengan kuadrat sempurna :

Diketahui Persamaan Kuadrat : $ ax^2+bx+c=0 $
$\begin{align} ax^2+bx+c & = 0 \, \, \, \, \text{ (bagi } a \text{ kedua ruas)} \\ x^2 + \frac{b}{a}x+\frac{c}{a} & = 0 \\ x^2 + \frac{b}{a}x & = - \frac{c}{a} \\ \text{ gunakan } x^2+px & =(x+\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 \\ (x + \frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2 & = - \frac{c}{a} \\ (x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2} & = - \frac{c}{a} \\ (x + \frac{b}{2a})^2 & = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} \\ (x + \frac{b}{2a})^2 & = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2} \\ (x + \frac{b}{2a})^2 & = \frac{b^2-4ac}{4a^2} \\ (x + \frac{b}{2a}) & = \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2} } \\ (x + \frac{b}{2a}) & = \pm \frac{ \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x & = - \frac{b}{2a} \pm \frac{ \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \end{align}$
Jadi terbukti rumus ABC nya.

      dari pembuktian ini, dapat kita tarik kesimpulan bahwa rumus ABC itu diperoleh dari Melengkapkan kuadrat sempurna, artinya baik menggunakan rumus ABC atau kuadrat sempurna itu sama saja, hanya saja rumus ABC langsung menggunakan rumus jadinya saja dan lebih simpel.

Contoh

Tentukan akar-akar dari Persamaan kuadrat $ -5x^2 - 3x +2 =0 \, $ ?

Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ PK $ -5x^2 - 3x +2 =0 \rightarrow a = -5, \, b = -3, \, c = 2 $
$\spadesuit \, $ Dengan rusmus ABC
$\begin{align} x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x & = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4.(-5).2}}{2.(-5)} \\ x & = \frac{3 \pm \sqrt{9+40}}{-10} \\ x & = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{-10} \\ x & = \frac{3 \pm 7}{-10} \\ x & = \frac{3 + 7}{-10} = \frac{10}{-10} = -1 \\ x & = \frac{3 - 7}{-10} = \frac{-4}{-10} = \frac{2}{5} \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = -1 \, $ atau $ x = \frac{2}{5} . \heartsuit $

      Pada rumus ABC, ada bentuk $ b^2 -4ac \, $ yang disebut dengan Diskriminan $ ( D = b^2-4ac) \, $ . Nilai Diskriminan ini sangat berguna pada persamaan kuadrat, terutama untuk menentukan jenis-jenis akarnya. Jadi harus diingat terus ya tentang Diskriminan.

      Rumus ABC ini sangat berguna bagi kita, terutama bagi teman-teman yang masih kesulitan dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Rumus ABC ini selain bergna untuk menentukan akar-akar juga bisa sangat berguna untuk membuktikan rumus operasi akar-akar persamaan kuadrat.

      Semoga materi "pembuktian rumus ABC" ini bisa berguna untuk kita dalam mempelajari persamaan kuadrat baik bagi teman-teman SMP atau SMA atau yang ingin mempersiapkan diri mengikuti seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau swasta.