Operasi Akar-akar Persamaan Kuadrat
Persamaan Kuadrat (PK) $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ secara umum mempunyai dua akar, misalkan $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ . Operasi akar-akar yang dimaksud adalah operasi penjumlahan $(x_1+x_2)$, perkalian $(x_1.x_2)$, dan pengurangan $(x_1-x_2)$. Kalau secara konsep, untuk menentukan hasil jumlah, perkalian, dan pengurangan akar-akarnya kita harus menentukan nilai akar-akarnya terlebih dahulu misalnya dengan menggunakan pemfaktoran atau kuadrat sempurna atau rumus ABC, setelah itu baru kita tentukan operasi akar-akarnya. Hanya saja jika kita menentukan akar-akarnya dulu, maka butuh waktu lama, sehingga dengan rumus operasi akar-akar yang ada akan lebih mudah dan cepat.
Berikut operasi akar-akarnya :
Untuk beberapa soal persamaan kuadrat, operasi akar-akar ketiga rumus di atas belum cukup karena rumus tersebut hanya untuk akar-akar pangkat satu. Ini artinya kita butuh beberapa rumus bantu agar mudah dalam menyelesaikan soal-soal yang ada.
Beberapa rumus bantu yang berguna :
Tentu masih kurang rasanya jika hanya disediakan rumus-rumus seperti di atas. Ada baiknya kita lihat contoh-contoh soalnya berikut.
Selain untuk sifat-sifat akar, operasi akar-akar juga akan sangat berguna untuk materi "menyusun persamaan kuadrat".Jadi, meskipun sudah lewat materi ini, tetap harus diingat karena akan tetap kita gunakan lagi.
Sebenarnya operasi akar-akar suatu persamaan tidak hanya sebatas pada persamaan kuadrat, akan tetapi juga berlaku untuk operasi akar-akar persamaan suku banyak (polinomial) yang tentu pangkatnya lebih dari dua (bisa berderajat 3, berderajat 4, dan seterusnya).
Berikut operasi akar-akarnya :
(i). $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $
(ii). $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} $
(iii). $ x_1 - x_2 = \pm \frac{\sqrt{D}}{a} $
dengan $ D = b^2 - 4ac $
(ii). $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} $
(iii). $ x_1 - x_2 = \pm \frac{\sqrt{D}}{a} $
dengan $ D = b^2 - 4ac $
Beberapa rumus bantu yang berguna :
1. Jumlah kuadrat : $ x_1^2+x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1.x_2 $
2. Kuadrat jumlah : $ (x_1+x_2)^2 $
3. Selisih kuadrat : $ x_1^2 - x_2^2 = (x_1 + x_2)(x_1 - x_2) $
4. Kuadrat selisih : $ (x_1 - x_2 )^2 $
5. Jumlah pangkat tiga :
$ x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_3)^3-3x_1x_2(x_1+x_2) $
6. Selisih pangkat tiga :
$ x_1^3 - x_2^3 = (x_1-x_3)^3+3x_1x_2(x_1-x_2) $
7. Jumlah pangkat empat : $ x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1x_2)^2 $
8. Selisih pangkat empat : $ x_1^4 - x_2^4 = (x_1^2+x_2^2)(x_1^2-x_2^2) $
2. Kuadrat jumlah : $ (x_1+x_2)^2 $
3. Selisih kuadrat : $ x_1^2 - x_2^2 = (x_1 + x_2)(x_1 - x_2) $
4. Kuadrat selisih : $ (x_1 - x_2 )^2 $
5. Jumlah pangkat tiga :
$ x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_3)^3-3x_1x_2(x_1+x_2) $
6. Selisih pangkat tiga :
$ x_1^3 - x_2^3 = (x_1-x_3)^3+3x_1x_2(x_1-x_2) $
7. Jumlah pangkat empat : $ x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1x_2)^2 $
8. Selisih pangkat empat : $ x_1^4 - x_2^4 = (x_1^2+x_2^2)(x_1^2-x_2^2) $
Contoh 1.
Persamaan kuadrat $ x^2 - 3x -7 = 0 \, $ memiliki akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Tentukan nilai dari :
a. $ x_1 + x_2 \, \, \, $ b. $ x_1^3 + x_2^3 $
a. $ x_1 + x_2 \, \, \, $ b. $ x_1^3 + x_2^3 $
Penyelesaian :
Jika kita menentukan akar-akarnya terlebih dahulu, maka akan sulit. Hal ini karena PK $ x^2 - 3x -7 = 0 \, $ sulit untuk difaktorkan. Sehingga kita langsung menggunakan operasi akar-akarnya.
$\spadesuit \, $ PK $ x^2 - 3x -7 = 0 \rightarrow a = 1, \, b = -3, \, c = -7 $
a. $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-3)}{1} = 3 \, $
sehingga nilai $ x_1 + x_2 = 3 $
b. $ x_1^3 + x_2^3 $
$\begin{align} x_1^3 + x_2^3 & = (x_1+x_3)^3-3x_1x_2(x_1+x_2) \\ & = (\frac{-b}{a})^3-3.\frac{c}{a}.(\frac{-b}{a}) \\ & = (\frac{-(-3)}{1})^3-3.\frac{-7}{1}.(\frac{-(-3)}{1}) \\ & = (3)^3-3.(-7).(3) \\ & = 27 + 63 = 90 \end{align}$
sehingga nilai $ x_1^3 + x_2^3 = 90 $
Jika kita menentukan akar-akarnya terlebih dahulu, maka akan sulit. Hal ini karena PK $ x^2 - 3x -7 = 0 \, $ sulit untuk difaktorkan. Sehingga kita langsung menggunakan operasi akar-akarnya.
$\spadesuit \, $ PK $ x^2 - 3x -7 = 0 \rightarrow a = 1, \, b = -3, \, c = -7 $
a. $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-3)}{1} = 3 \, $
sehingga nilai $ x_1 + x_2 = 3 $
b. $ x_1^3 + x_2^3 $
$\begin{align} x_1^3 + x_2^3 & = (x_1+x_3)^3-3x_1x_2(x_1+x_2) \\ & = (\frac{-b}{a})^3-3.\frac{c}{a}.(\frac{-b}{a}) \\ & = (\frac{-(-3)}{1})^3-3.\frac{-7}{1}.(\frac{-(-3)}{1}) \\ & = (3)^3-3.(-7).(3) \\ & = 27 + 63 = 90 \end{align}$
sehingga nilai $ x_1^3 + x_2^3 = 90 $
Contoh 2.
Persamaan kuadrat $ x^2 +px +q = 0 \, $ memiliki akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Tentukan nilai dari jumlah kuadrat akar-akar dikalikan dengan selisih kuadrat akar-akarnya?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ PK $ x^2 +px +q = 0 \rightarrow a = 1, \, b = p, \, c = q $
yang ditanyakan adalah $ (x_1^2+x_2^2)(x_1^2-x_2^2) $
$\spadesuit \, $ Menyelesaiakan soalnya
$\begin{align} & (x_1^2+x_2^2)(x_1^2-x_2^2) \\ & = [(x_1 + x_2)^2 - 2x_1.x_2].[(x_1 + x_2)(x_1 - x_2)] \\ & = [(\frac{-b}{a})^2 - 2.\frac{c}{a}].[(\frac{-b}{a})(\pm \frac{\sqrt{D}}{a})] \\ & = [(\frac{-b}{a})^2 - 2.\frac{c}{a}].[(\frac{-b}{a})(\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a})] \\ & = [(\frac{-p}{1})^2 - 2.\frac{q}{1}].[(\frac{-p}{1})(\pm \frac{\sqrt{p^2-4.1.q}}{1})] \\ & = [p^2 - 2q].[(-p)(\pm \sqrt{p^2-4q})] \\ & = (2pq-p^3).(\pm \sqrt{p^2-4q}) \\ & = (\pm \sqrt{p^2-4q}) (2pq-p^3) \end{align}$
Jadi, nilai $ (x_1^2+x_2^2)(x_1^2-x_2^2) = (\pm \sqrt{p^2-4q}) (2pq-p^3) $
$\spadesuit \, $ PK $ x^2 +px +q = 0 \rightarrow a = 1, \, b = p, \, c = q $
yang ditanyakan adalah $ (x_1^2+x_2^2)(x_1^2-x_2^2) $
$\spadesuit \, $ Menyelesaiakan soalnya
$\begin{align} & (x_1^2+x_2^2)(x_1^2-x_2^2) \\ & = [(x_1 + x_2)^2 - 2x_1.x_2].[(x_1 + x_2)(x_1 - x_2)] \\ & = [(\frac{-b}{a})^2 - 2.\frac{c}{a}].[(\frac{-b}{a})(\pm \frac{\sqrt{D}}{a})] \\ & = [(\frac{-b}{a})^2 - 2.\frac{c}{a}].[(\frac{-b}{a})(\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a})] \\ & = [(\frac{-p}{1})^2 - 2.\frac{q}{1}].[(\frac{-p}{1})(\pm \frac{\sqrt{p^2-4.1.q}}{1})] \\ & = [p^2 - 2q].[(-p)(\pm \sqrt{p^2-4q})] \\ & = (2pq-p^3).(\pm \sqrt{p^2-4q}) \\ & = (\pm \sqrt{p^2-4q}) (2pq-p^3) \end{align}$
Jadi, nilai $ (x_1^2+x_2^2)(x_1^2-x_2^2) = (\pm \sqrt{p^2-4q}) (2pq-p^3) $
Contoh 3.
Operasi akar-akar ini nantinya juga akan berguna dalam menentukan sifat-sifat akar yang akan dibahas pada artikel selanjutnya. Operasi akar-akar persamaan kuadrat sangat berguna karena kita tidak perlu mencari akar-akarnya terlebih dahulu. Untuk membuktikan kebenaran rumus operasi akar-akar, kita bisa menggunakan rumus ABC dimana $ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \, $ dan $ \, x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \, $, pasti hasilnya akan sesuai dengan rumus di atas yang sudah kita pelajari sebelumnya dan sudah kita aplikasikan ke beberapa contoh soal. Jika jumlah akar-akar PK $ x^2 - px +5 =0 \, $ sama dengan jumlah kebalikan akar-akar PK $ x^2 - 3x + (p+2) = 0 \, $ . Tentukan nilai $ p \, $ yang memenuhi kasus ini?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ PK1 $ x^2 - px +5 =0 \, $ misalkan akar-akarnya $ x_1 \, $ dan $ x_2 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-p)}{1} = p $
$\spadesuit \, $ PK2 $ x^2 - 3x + (p+2) = 0 \, $ misalkan akar-akarnya $ y_1 \, $ dan $ y_2 $
$ y_1 + y_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-3)}{1} = 3 $
$ y_1 . y_2 = \frac{c}{a} = \frac{p+2}{1} = p+2 $
$\spadesuit \, $ Jumlah akar-akar PK1 sama dengan jumlah kebalikan akar-akar PK2, dapat ditulis : $ x_1 + x_2 = \frac{1}{y_1} + \frac{1}{y_2} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ p $
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{1}{y_1} + \frac{1}{y_2} \\ x_1 + x_2 & = \frac{y_1 + y_2}{y_1.y_2} \\ p & = \frac{3}{p+2} \\ p (p+2) & = 3 \\ p^2 + 2p - 3& = 0 \\ (p+3)(p-1) & = 0 \\ p = -3 \vee p & = 1 \end{align}$
Jadi, nilai $ p \, $ yang memenuhi adalah $ p = -3 \vee p = 1 $ .
$\spadesuit \, $ PK1 $ x^2 - px +5 =0 \, $ misalkan akar-akarnya $ x_1 \, $ dan $ x_2 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-p)}{1} = p $
$\spadesuit \, $ PK2 $ x^2 - 3x + (p+2) = 0 \, $ misalkan akar-akarnya $ y_1 \, $ dan $ y_2 $
$ y_1 + y_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-3)}{1} = 3 $
$ y_1 . y_2 = \frac{c}{a} = \frac{p+2}{1} = p+2 $
$\spadesuit \, $ Jumlah akar-akar PK1 sama dengan jumlah kebalikan akar-akar PK2, dapat ditulis : $ x_1 + x_2 = \frac{1}{y_1} + \frac{1}{y_2} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ p $
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{1}{y_1} + \frac{1}{y_2} \\ x_1 + x_2 & = \frac{y_1 + y_2}{y_1.y_2} \\ p & = \frac{3}{p+2} \\ p (p+2) & = 3 \\ p^2 + 2p - 3& = 0 \\ (p+3)(p-1) & = 0 \\ p = -3 \vee p & = 1 \end{align}$
Jadi, nilai $ p \, $ yang memenuhi adalah $ p = -3 \vee p = 1 $ .
Selain untuk sifat-sifat akar, operasi akar-akar juga akan sangat berguna untuk materi "menyusun persamaan kuadrat".Jadi, meskipun sudah lewat materi ini, tetap harus diingat karena akan tetap kita gunakan lagi.
Sebenarnya operasi akar-akar suatu persamaan tidak hanya sebatas pada persamaan kuadrat, akan tetapi juga berlaku untuk operasi akar-akar persamaan suku banyak (polinomial) yang tentu pangkatnya lebih dari dua (bisa berderajat 3, berderajat 4, dan seterusnya).
Posting Komentar untuk "Operasi Akar-akar Persamaan Kuadrat"