Peluang Kejadian Saling Lepas dan Saling Bebas

        Kejadian pada percobaan ada dua yaitu kejadian sederhana dan kejadian majemuk yang telah dibahas sebelumnya pada materi "Peluang Kejadian Secara Umum". Untuk artikel kali ini, kita akan membahas peluang kejadian majemuk yaitu Peluang Kejadian Saling Lepas dan Saling Bebas. Namun sebelum membahas materi Peluang Kejadian Saling Lepas dan Saling Bebas kita akan membahas peluang gabungan dua kejadian. Untuk memudahkan dalam memahami materi ini, sebaiknya kuasai dulu teori "peluang kejadian secara umum" dulu.

Peluang Gabungan Dua Kejadian

       Dengan menggunakan sifat-sifat gabungan dua himpunan kita akan bisa menentukan peluang gabungan dua kejadian. Berdasarkan teori "himpunan", banyaknya anggota gabungan himpunan A dan B yang disimbolkan $ A \cup B \, $ yaitu
$ n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A\cap B) \, $, dengan $ A \cap B \, $ menyatakan irisan dua himpunan A dan B.

Menentukan Peluang gabungan dua kejadian : $ P(A \cup B) $
$ \begin{align} n(A \cup B) & = n(A) + n(B) - n(A\cap B) \, \, \, \text{[bagi dg } n(S) ] \\ \frac{ n(A \cup B) }{n(S)} & = \frac{n(A) }{n(S)} + \frac{n(B) }{n(S)} - \frac{ n(A\cap B)}{n(S)} \\ P(A \cup B) & = P(A) + P(B) - P(A\cap B) \end{align} $
Jadi, rumus peluang gabungannya adalah
$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) $ .

Keterangan :
$ P(A \cup B) = \, $ peluang gabungan kejadian A dan B,
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A ,
$ P(B) = \, $ peluang kejadian B ,
$ P(A \cap B) = \, $ peluang irisan kejadian A dan B.
Hasil irisan dua himpunan adalah anggota himpunan yang sama dari kedua himpunan tersebut.

Contoh soal peluang gabungan dua kejadian :

1). Sebuah dadu sisi enam dilempar sekali, berapakah peluang kejadian munculnya mata dadu angka genap atau angka prima?
Penyelesaian :
*). Ruang sampelanya adalah S = {1,2,3,4,5,6}, dengan $ n(S) = 6 $.
*). Misalkan A kejadian muncul mata dadu genap dan B kejadian muncul mata dadu prima,
A = {2,4,6}, B = {2,3,5}, dan $ A \cap B = \{ 2 \} $
Sehingga $ n(A) = 3, \, n(B) = 3, \, n(A \cap B) = 1 $.
*). Gambar diagram Vennnya,

*). Menentukan peluang : $ P(A), \, P(B), \, P(A \cap B) $
$ \begin{align} P(A) & = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{6} \\ P(B) & = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{3}{6} \\ P(A \cap B) & = \frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{1}{6} \end{align} $.
*). Menentukan peluang gabungannya
$ \begin{align} P(A \cup B) & = P(A) + P(B) - P(A\cap B) \\ & = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} \\ & = \frac{5}{6} \end{align} $.
Jadi, peluang gabungan kejadian A dan B adalah $ \frac{5}{6} $.

2). Dalam satu set kartu bridge ada 52 kartu terdiri atas 13 kartu sekop warna hitam, 13 kartu keriting warna hitam, 13 kartu hati warna merah, dan 13 kartu wajik warna merah. Setiap jenis teridiri atas kartu bernomor 2,3,4,5, ...,10, Jack(J), Queen(Q), King(K), dan As (A). Jika diambil satu kartu dari satu set kartu bridge, berapakah peluang kejadian yang terambil satu kartu berwarna hitam atau satu kartu K.?
Penyelesaian :
*). Jumlah kartu berwarna hitam ada 26 buah, yaitu sekop dan keriting. Misalkan A kejadian munculnya kartu warna hitam, maka
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{26}{52} = \frac{1}{2} $
*). Misalkan B adalah kejadian munculnya kartu K, dan terdapat 4 kartu K, sehingga peluangnya
$ P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} $
*). Banyaknya irisan kartu berwarna hitam dan katu K ada 2 yaitu kartu K sekop dan K keriting, sehingga peluangnya :
$ P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{2}{52} = \frac{1}{26} $
*). Menentukan peluang gabungannya
$ \begin{align} P(A \cup B) & = P(A) + P(B) - P(A\cap B) \\ & = \frac{1}{2} + \frac{1}{13} - \frac{1}{26} \\ & = \frac{7}{13} \end{align} $.
Jadi, peluang terambil satu kartu berwarna hitam atau satu kartu K adalah $ \frac{7}{13} $.

Peluang Kejadian Saling Lepas

       Kejadian A dan B dikatakan Saling Lepas jika irisan keduanya adalah himpunan kosong ($A \cap B = {}$). Jika A dan B adalah kejadian saling lepas dalam ruang sampel S, maka peluang kejadian $ A \cup B \, $ adalah
$ \begin{align} P(A \cup B) & = P(A) + P(B) \end{align} $.

Contoh soal kejadian saling lepas :
3). Dalam sebuah kantong terdapat 10 kartu, masing-masing diberi nomor yang berurutan, sebuah kartu diambil dari dalam kantong secara acak, misal A adalah kejadian bahwa yang terambil kartu bernomor genap dan B adalah kejadian terambil kartu bernomor prima ganjil.
a. Selidiki apakah kejadian A dan B saling asing.
b. Tentukan peluan kejadian A atau B.
Penyelesaian :
*). Menentukan himpunan masing-masing kejadian :
Ruang sampel : S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} , $ n(S) = 10 $.
Kejadian A : A = {2,4,6,8,10} , $ n(A) = 5 $
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{5}{10} $
Kejadian B : B = {3,5,7} , $ n(B) = 3 $
$ P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{3}{10} $
a). Ternyata kejadian A dan B tidak memiliki irisan ($A \cap B = {}$) . Artinya kejadian A dan B adalah kejadian saling lepas.
b). Menentukan peluang $ A \cup B $ ,
$ \begin{align} P(A \cup B) & = P(A) + P(B) \\ & = \frac{5}{10} + \frac{3}{10} \\ & = \frac{8}{10} \\ & = \frac{4}{5} \end{align} $.
Jadi, peluang terambil kartu genap atau prima ganjil adalah $ \frac{4}{5} $.

4). Pada percobaan mengocok sebuah kartu remi, misalkan Ingatlah kejadian A adalah muncul kartu berwarna merah dan kejadian B adalah kejadian muncul kartu berwarna hitam. Apakah kejadian A dan B saling lepas?
Penyelesaian :
Pada kartu remi terdapat 52 kartu. Banyak kartu merah dan hitam masing-masing 26 kartu. Muncul kartu merah terlepas dari muncul kartu hitam maksudnya irisannya tidak ada karena tidak ada kartu yang berwarna hitam sekaligus warna merah. Jadi, kejadian A dan B saling lepas.

Peluang Kejadian Saling Bebas

       Kejadian A dan kejadian B dikatakan dua kejadian saling bebas jika kejadian A tidak dipengaruhi oleh kejadian B atau sebaliknya kejadian B tidak dipengaruhi oleh kejadian A.

       Jika A dan B adalah dua kejadian saling bebas, maka berlaku :
$ \begin{align} P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \end{align} $
Sebaliknya, jika $ \begin{align} P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B) \end{align} \, $ , maka kejadian A dan kejadian B tidak saling bebas.

Contoh soal kejadian saling bebas :
5). Dua buah dadu sisi enam dilemparkan sekali secara serentak. Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu pertama angka 3, dan B adalah kejadian munculnya mata dadu kedua angka 5. Apakah kejadian A dan kejadian B saling bebas?
Penyelesaian :
*). Menentukan anggota himpunan masing-masing :
A = {(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)}, $ n(A) = 6 $
B = {(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5)} , $ n(B) = 6 $
$ A \cap B \, $ = {(3,5)} , , $ n(A \cap B ) = 1 $
*). Menentukan peluang masing-masing :
Ada dua dadu dilempar, sehingga $ n(S) = 6^2 = 36 $.
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} $
$ P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} $
$ P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{1}{36} $
*). Apakah berlaku $ \begin{align} P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \end{align} $
Mari kita cek :
$ \begin{align} P(A \cap B) & = P(A) \times P(B) \\ \frac{1}{36} & = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \\ \frac{1}{36} & = \frac{1}{36} \end{align} $
Karena berlaku $ \begin{align} P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \end{align} $, maka kejadian A dan B saling bebas.

6). Ada dua kota yang masing-masing memuat bola berwarna merah dan putih. Kotak I memuat 5 Merah dan 4 Putih, serta Kotak II memuat 6 Merah dan 3 Putih. Jika masing-masing kotak diambil 2 bola sekaligus, tentukan peluang terambilnya 1 merah dan 1 putih pada kotak I dan 2 Merah pada kotak II.
Penyelesaian :
*). Kejadian antara kotak A dan Kotak B adalah kejadian saling bebas karena tidak saling mempengaruhi.
*). Misal A adalah kejadian pada kotak I yaitu terambil 1M dan 1P,
akan diambil 2 bola sekaligus dari kotak I yang terdiri dari 9 bola,
$ n(S) = C_2^9 = \frac{9!}{7!.2!} = \frac{9.8.7!}{7!.(2.1)} = 36 $
Terpilih 1 merah dari 5 Merah dan 1 putih dari 4 putih,
$ n(A) = C_1^5 \times C_1^4 = 5 \times 4 = 20 $
Peluangnya : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9} $
*). Misal B adalah kejadian pada kotak II yaitu terambil 2M,
akan diambil 2 bola sekaligus dari kotak II yang terdiri dari 9 bola,
$ n(S) = C_2^9 = \frac{9!}{7!.2!} = \frac{9.8.7!}{7!.(2.1)} = 36 $
Terpilih 2 merah dari 6 Merah,
$ n(B) = C_2^6 = \frac{6!}{4!.2!} = \frac{6.5.4!}{4!.(2.1)} = 15 $
Peluangnya : $ P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} $
*. Menentukan peluang kejadian A dan B : $ P(A \cap B) $ ,
$ \begin{align} P(A \cap B) & = P(A) \times P(B) \\ & = \frac{5}{9} \times \frac{5}{12} \\ & = \frac{25}{108} \end{align} $
Jadi, peluang kejadian A dan kejadian B adalah $ \frac{25}{108} $.

7). Dua dadu sisi enam dilempar secara serentak sekali. Kejadian A adalah kejadian munculnya angka 3 pada dadu pertama, sedangkan kejadian B adalah kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu sama dengan 8. Apakah kejadian A dan kejadian B saling bebas?
Penyelesaian :
*). Dua dadu dilempar, $ n(S) = 6^2 = 36 $.
*). Menentukan peluang masing-maisng :
A = {(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)}, $ n(A) = 6 $.
Peluangnya : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} $
B = {(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4)}, $ n(B) = 5 $.
Peluangnya : $ P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{5}{36} $
Sehingga : $ P(A) \times P(B) = \frac{1}{6} \times \frac{5}{36} = \frac{5}{216} $
$ A \cap B \, $ = {(3,5)}, $ n(B) = 1 $.
Peluangnya : $ P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{1}{36} = \frac{1}{6} $
*). Cek apakah saling bebas atau tidak.
Dari haisil perhitungan di atas,
$ P(A \cap B) = \frac{1}{6} \, $ dan $ \, P(A) \times P(B) = \frac{5}{216} $
Artinya $ P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B) \, $ ,
Sehingga kejadian A dan B tidak saling bebas.

8). Misalkan A dan B adalah kejadian saling bebas, tetapi tidak saling lepas. Jika $ P(A) = \frac{1}{2} \, $ dan $ \, P(A \cup B) = \frac{3}{4}, \, $ hitunglah peluang kejadian B.
Penyelesaian :
*). Misalkan besarknya peluang $ P(B) = c $,
*). A dan B kejadian saling bebas, sehingga :
Peluang : $ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times c = \frac{1}{2}c $.
*). Kejadian A dan B tidak saling lepas, sehingga :
$ \begin{align} P(A \cup B) & = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \\ \frac{3}{4} & = \frac{1}{2} + c - \frac{1}{2}c \\ \frac{3}{4} & = \frac{2}{4} + \frac{1}{2}c \\ \frac{1}{4} & = \frac{1}{2}c \\ c & = \frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, peluang B adalah $ P(B) = c = \frac{1}{2} $.

9). Misalkan A dan B adalah kejadian saling bebas. Jika $ P(A) = \frac{1}{3} \, $ dan $ P(B) = \frac{2}{3} $, tentukanlah :
a). $ P(A \cap B) $ ,
b). $ P(A \cup B) $ ,
c). $ P(A^c \cap B^c) $ ,
c). $ P(A^c \cup B^c) $.
Penyelesaian :
a). $ P(A \cap B) $ ,
$ \begin{align} P(A \cap B) & = P(A) \times P(B) \\ & = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \\ & = \frac{2}{9} \end{align} $

b). $ P(A \cup B) $ ,
$ \begin{align} P(A \cup B) & = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \\ & = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{9} \\ & = 1 - \frac{2}{9} \\ & = \frac{7}{9} \end{align} $

c). $ P(A^c \cap B^c) $ ,
Bentuk komplemen :
$ (A \cap B)^c = (A^c \cup B^c ) $
$ (A \cup B)^c = (A^c \cap B^c ) $
Kita menggunakan peluang komplemen : $ P(A^c) = 1 - P(A) $
Sehingga : $ P(A^c \cap B^c) = P(A \cup B)^c = 1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{7}{9} = \frac{2}{9} $

c). $ P(A^c \cup B^c) $.
$ P(A^c \cup B^c) = P(A \cap B)^c = 1 - P(A \cap B) = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9} $