Pembiasan Pada Permukaan Lengkung

Dalam gambar 1 sebuah permukaan bola dengan jari-jari R membentuk sebuah antarmuka di antara dua medium dengan indeks bias yang berbeda n_a dan n_b. Permukaan itu membentuk sebuah bayangan P’ dari sebuah titik benda P.

Bagaimana hubungan antara jarak benda s dan jarak s’?  

Gambar 1: Gambar untuk memperlihatkan bayangan benda P dari pembiasan pada permukaan lengkung

Kita akan gunakan aturan tanda yang sama dengan yang kita gunakan di cermin lengkung. Pusat kecengkungan C berada pada sisi keluar dari permukaan itu, sehingga R adalah positif. Sinar PV membentuk verteks V dan tegak lurus terhadap permukaan tersebut (yakni terhadap bidang yang menyinggung pada permukaan itu di titik masuk V). Berkas sinar PV itu lewat ke dalam medium kedua tanpa deviasi. Sinar PB, yang membuat sudut α dengan sumbu itu, masuk pada sudut θ_a dengan normal dan dibiaskan pada sudut θ_b. Sinar-sinar ini berpotongan di P’, sejauh s’ di sebelah kanan dari verteks. Untuk kasus di mana n_a < n_b dapat dilihat pada gambar 1. Jarak benda dan jarak bayangan keduanya adalah positif.

Kita akan membuktikan bahwa jika sudut α adalah kecil, semua sinar dari P berpotongan di titik P’ yang sama, sehingga P’ adalah bayangan nyata dari P. Kita menggunakan banyak pendekatan yang sama seperti yang kita lakukan untuk cermin lengkung.

Kita menggunakan teorema bahwa sudut luar sebuah segitiga sama dengan jumlah dari dua sudut dalam yang berhadapan. Pemakaian teorema ini pada segitiga PBC dan P’BC memberikan

θ_a = α + φ dan φ = β + θ_b (*)

dari hukum pembiasan,

n_a sin θ_a = n_b sin θ_b

Juga, tangen α, tan β, dan tan φ adalah

tangen α = h/(s + δ’), tangen β = h/(s – δ’), tangen φ = h/(R – δ’)

Untuk sinar-sinar paraksial, θ_a dan θ_b keduanya lebih kecil dibandingkan dengan satu radian, dan kita dapat mengaproksimasi kedua sinar dan tangen dari masing-masing sudut ini dengan sudut itu sendiri (yang diukur dalam radian). Maka hukum pembiasan memberikan,

n_a θ_a = n_b θ_b

dengan menggabungkan persamaan ini dengan persamaan (*), kita dapatkan

θ_b = (n_a/n_b)(α + φ)

Bila kita masukkan ke dalam kedua persamaan (*), kita dapatkan

n_aα + n_bβ = (n_a – n_b)φ    (**)

Jika kita menggunakan tan α = α, dan seterusnya dan kita juga mengabaikan jarak kecil δ, persamaan-persamaan tersebut akan menjadi,

α = h/s, β = h/s, φ = h/R

Akhirnya kita mensubtitusikan persamaan-persamaan tersebut ke dalam (**) dan membaginya dengan h, kita mendapatkan

n_a/s + n_b/s’ = (n_b – n_b)/R  [*]

Persamaan ini merupakan hubungan benda-bayangan untuk pembiasan pada permukaan bola.

Gambar 2: Gambar untuk menentukan tinggi sebuah bayangan yang dibentuk oleh pembiasan pada permukaan lengkung

Persamaan terakhir tidak mengandung sudut α, sehingga jarak bayangan sama untuk semua sinar paraksial yang keluar dari P, hal ini membuktikan bahwa P’ adalah bayangan dari P.

Untuk mendapatkan pembesaran lateral M pada situasi ini, kita menggunakan gambar 2. Kita menggambar dua sinar dari titik Q, satu melalui pusat kelengkungan C dan yang lainnya masuk di verteks V. Dari segitiga PQV dan P’Q’V.

tan θ_a = y/s dan tan θ_b = –y/s’

dan dari hukum pembiasan

n_a sin θ_a = n_b sin θ_b

untuk sudut-sudut kecil,

tan θ_a = sin θ_a dan tan θ_b = sin θ_b

sehingga akhirnya,

n_ay/s = –n_by/s’

atau

M = y’/y

M = –n_as’/n_bs [**]

Persamaan ini merupakan pembesaran lateral untuk pembiasan pada permukaan bola.

Persamaan [*] dan [**] dapat digunakan untuk permukaan cekung maupun cembung yang bersifat dapat membiaskan sinar, asalkan kita menggunakan aturan tanda secara konsisten. Tak peduli apakah n_b lebih besar atau lebih kecil daripada n_a.

CATATAN: R adalah positif jika pusat kelengkungan C berada pada sisi keluar dari permukaan itu dan R adalah negatif jika C berada pada sisi lainnya.

Maka untuk gambar 2 di atas R bertanda positif.

Sebuah kasus khusus dari pembiasan pada permukaan  lengkung adalah sebuah permukaan datar di antara dua medium optis, atau R = ∞. Maka dalam kasus ini,

n_a/s + n_b/s’ = 0

dan kita akan memperoleh pembesaran lateralnya M = 1.

Bayangan yang dibentuk oleh sebuah permukaan datar selalu mempunyai ukuran lateral yang sama seperti benda itu dan bayangan itu selalu tegak. Contoh kasus ini adalah penampakan sebuah pipa sedotan minum yang sebagian terbenam, bila dipandang dari berbagai sudut benda tersebut terlihat mempunyai belokan tajam di permukaan air karena bagian terbenam itu terlihat hanya kira-kira tiga perempat dari jarak yang sebetulnya di bawah permukaan air.