Soal Relativitas dan pembahasannya

Soal 1
Sebuah mobil sedang bergerak dengan kelajuan 60 km/jam. Seorang penumpang mobil melemparkan sebuah batu dengan kelajuan 5 km/jam. Belapa kelajuan batu tersebut terhadap seseorang yang diam di pinggir jalan, jika arah lemparan, (a) searah dengan gerak mobil? Dan (b) berlawanan arah dengan arah gerak mobil?

Jawab:
Tentukan kerangka acuan S untuk orang yang diam di pinggir jalan dan kerangka acuan S’ untuk mobil yang sedang bergerak dengan kelajuan v = 60 km/jam.
(a) Kelajuan batu dalam kerangka acuan S’ adalah 5 km/jam searah dengan gerak mobil. Jika kita tetapkan arah gerak mobil dalam arah x’ atau x, maka ini berarti u_x’ = +5 km/jam. Kelajuan  batu menurut orang yang diam di pinggir jalan (kerangka acua S), yaitu u_x, dihitung dari transformasi Galileo untuk kelajuan dalam arah x, yaitu
u_x’ = u_x – v atau u_x = u_x’ + v
u_x = +5 km/jam + 60 km/jam = 65 km/jam

(b) untuk kelajuan batu berlawanan arah dengan gerak mobil, u_x’ = –5 km/jam, sehingga
u_x = u_x’ + v
u_x = –5 km/jam + 60 km/jam = 55 km/jam

Soal 2
Suatu sampel (contoh) bahan radioaktif yang berada dalam keadaan diam di laboratorium, memancarkan dua elektron dengan arah yang berlawanan. Slah satu elektron memiliki kelajuan 0,4c dan lainnya 0,8c seperti yang diukur seorang pengamat di laboratorium. Menurut transformasi kecepatan klasik, berapakah kelajuan elektron yang satu bila diukur dari yang lainnya?

Jawab
Tetapkan kerangka acuan S diam terhadap laboratorium dan kerangka acuan S’ diam terhadap elektron yang bergerak dengan kelajuan 0,4c (diambil berarah positif), maka sketsa soal ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

sketa peristiwa gerak elektron dalam kerangka acuan

Menurut transformasi kecepatan klasik (transformasi Galileo), kelajuan partikel u_x jika diukur oleh kerangka acuan S’ adalah u_x’, di mana
u_x’ = u_x – v = –0,8c – (+0,4c) = –1,2c
soal ini menunjukkan bahwa dengan transformasi Galileo dimungkinkan adalah gerak dengan kecepatan lebih besar daripada kecepatan cahaya c, suatu hasil yang tidak patuh terhadap prinsip relativitas Einstein.

Soal 3
Sebuah piring terbang bergerak ke arah x dengan laju 0,8c terhadap bumi. Dari piring terbang ditembakan peluru ke arah x dengan laju 0,6c. Tentukan laju peluru bila diukur oleh pengamat di Bumi berdasarkan: (a) relativitas Newton dan (b) relativitas Einstein.

Jawab:
Tetapkan bumi sebagai kerangka acuan S, piring terbang sebagai kerangka acuan S’, dan penembakan peluru sebagai kejadian (peristiwa). Diagram soalnya ditunjukkan pada gambar di bawah ini

Kerangka acuan gerak S adalah bumi dan S' adalah piringan

 (a) laju peluru bila diukur oleh pengamat di bumi u_x berdasarkan relativitas Newton
u_x = u_x’ + v = 0,6c + 0,8c = 1,4c
jadi, penjumlahan kecepatan berdasarkan relativitas Newton (tranformasi Galileo) memungkinkan kelajuan yang lebih besar daripada c, suatu hasil yang tidak mematuhi postulat ke-2 Einstein.
(b) Berdasarkan relativitas Einstein u_x dihitung dengan
u_x = [u_x’ + v]/[1 + (u_x’v/c²)]
u_x = [0,6c + 0,8c]/[1 + (0,6c x 0,8c/c²)]
u_x = 0,946c
jadi, dengan penjumlahan relativistik tidak dimungkinkan kelajuan melebihi c, hasil yang sesuai dengan postulat ke-2 Einstein.

Soal 4
Dua pesawat ruang angkasa A dan B bergerak berlawanan arah, seperti pada gambar. Pengamat di Bumi mengukur kecepatan A adalah 0.750c dan kecepatan B adalah 0.850c. Tentukan kecepatan B relatif terhadap A.

Jawab:
Masalah ini bisa diatasi dengan mengambil S’ berimpit dengan pesawat ruang angkasa A, jadi v = 0.750c relatif terhadap pengamat di Bumi (S). Pesawat ruang angkasa B dapat dianggap sebagai benda yang bergerak ke kiri dengan sebuah kecepatan u_x = 0,850c relatif terhadap pengamat bumi. Oleh karena itu, kecepatan B terhadap A dapat diperoleh menggunakan persamaan
Tanda negatif untuk u’_x menunjukkan bahwa pesawat ruang angkasa B bergerak dalam arah x negatif seperti yang diamati oleh A.

Soal 5
Bayangkan seorang pengendara sepeda motor bergerak dengan kecepatan 0.800c melewati pengamat diam, seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Jika pengendara melempar bola ke arah depan dengan kecepatan 0.700c relatif terhadap dirinya sendiri, berapakah kecepatan dari bola seperti yang terlihat oleh pengamat  yang diam?

Jawab:
 kecepatan bola terhadap pengamat yang diam dapat diperoleh menggunakan persamaan
 

Soal 6
Waktu hidup sebauh muon menurut kerangka acuan muon adalah 2,2 x 10^-6 s (2,2 μs). Sebuah muon diciptakan dalam atmosfer atas, ribuan meter di atas permukaan laut, bergerak ke permukaan bumi pada kelajuan v = 0,998c. (a) berapa lama waktu hidup muon menurut pengamat di bumi dan (b) berapa jarak yang ditempuh muon sebelum meluruh menjadi partikel lain?

Jawab:
Waktu hidup muon menurut kerangka acuan muon adalah selang waktu sejati, ∆t₀. Dengan demikian, ∆t₀ = 2,2 x 10^-6 s.
(a) waktu hidup muon menurut pengamat di Bumi adalah selang waktu relativistik ∆t dihitung dengan dilatasi waktu, ∆t = γt₀. Dengan demikian, kita harus menghitung γ terlebih dahulu

Maka ∆t = γt₀ = 15,8 x 2,2 x 10^-6 s = 35 x 10^-6 s = 35μs
(b) jarak yang ditempuh muon sebelum meluruh adalah menurut pengamat di Bumi adalah
Jarak = kecepatan x selang waktu
y  = v x ∆t = 0,998 (3 x 10⁸ m/s)(35 x 10^-6 s) = 1,0 x 10⁴ m = 10 km
Jadi, pemuluran waktu hidup muon menurut pengamat di Bumi memberikan selang waktu yang cukup bagi muon yang terletak ribuan meter di atas permukaan bumi untuk mencapai bumi. Jika waktu hidup muon hanya 2,2 x 10^-6 s, maka muon hanya dapat menempuh jarak 660 m sebelum meluruh karena itu muon tidak perna mencapai bumi.

Soal 7
Laju detak jantung seorang astronout diukur 60 detak/menit sebelum astronout melakukan perjalanan ke ruang antariksa. Ketika astronout sedang mengangkasa dengan dengan kecepatan 0,6c terhadap bumi, berapakah laju detak jantung astronout tersebut menurut pengamat di laboratoriumbumi?

Jawab:
Dari kecepatan astronout terhadap bumi v = 0,6c → v/c = 0,6, kita dapat menghitung γ dengan persamaan

Selang waktu detak jantung astronout yang diukur di Bumi adalah selang waktu sejati ∆t₀. Dengan demikian, ∆t₀ = 1 menit/60 detak.
Selang waktu detak jantung astronout yang sedang mengangkasa ketika diukur di laboratorium Bumi adalah selang waktu relativistik ∆t, yang mengalami pemuluran waktu, dan dihitung dengan persamaan,
∆t = γ∆t₀ = 1 menit/(10/8 x 60 detik) = 1 menit/48 detak
Jadi, laju denyut jantung = 48 detak/menit.
Tampak bahwa laju denyut jantung astronaut yang merupakan proses biologi mengalami perlambatan relatif terhadap jam yang diam terhadap proses tersebut.

Soal 8
Sepasang anak kembar A dan B, A berkelana di antariksa menggunakan pesawat antariksa dengan kelajuan tinggi. Setelah 10 tahun berkelana A kembali ke Bumi, tetapi menurut B A telah berkelana selama 20 tahun. Berpakah kelajuan pesawat antariksa yang ditumpangi A dalam perjalannnya?

Jawab:
Dalam soal ini, selang waktu yang diukur oleh A adalah selang waktu sejati, ∆t₀ dan yang diukur oleh B adalah selang waktu relativistik ∆t. Dengan demikian ∆t₀ = 10 tahun dan ∆t = 20 tahun.
∆t = γ∆t₀
20 tahun = γ(10 tahun) → γ = 2
Sedangkan

Soal 9
Hitung momentum sudut sebuah elektron yang kelajuannya v = 1/2c√3. (massa elektron = 9 x 10^-31 kg, c = 3 x 10⁸ m/s).

Jawab:
Momentum relativistik elektron dinyatakan oleh
p = γm₀v dengan m₀ = massa diam = 9 x 10^-31 kg
tetapan transformasi γ adalah
 
Dengan demikian, momentum relativistik p adalah
p = γm₀v = (2)(9,0 x 10^-31 kg)(1/2 x 3 x 10⁸ √3 m/s) = 27√3 x 10^-23 kg m/s.
Soal 7
Sebuah proton bergerak dengan kecepatan 0,6c. Hitung energi diam, energi total, dan energi kinetik proton tersebut dalam MeV. (massa proton = 1,6 x 10^-27 kg, c = 3,0 x 10⁸ m/s)
Jawab:
Kecepatan v = 0,6c → v/c = 0,6
Energi diam proton E₀ dihitung dengan persamaan
E₀ = m₀c²
    = 1,6 x 10^-27 kg (3,0 x 10⁸ m/s)²/[1,6 x 10¹⁹ J]
Karena 1 eV = 1,6 x 10¹⁹ J, maka
E₀ = 9,0 x 10⁸ eV = 900 MeV
Energi total proton E dihitung dengan persamaan
E = γE₀ = (10/8)(900 MeV) = 1125 MeV