Soal dan pembahasan atom berelektron banyak

Soal 1
Foton dalam diserap atau dipancarkan dari atom hidrogen jika elektron pada atom hidrogen tersebut bertransisi dari suatu keadaan yang dinyatakan dalam bilangan kuantum ke keadaan kuantum lain yang dinyatakan dalam bilangan-bilangan kuantum. Di antara daftar di bawah ini transisi dalam atom hidrogen yang memancarkan fptpn dengan energi yang paling rendah adalah . . . .
A. dari n₁ = 1 ke n₂ = 2
B. dari n₁ = 2 ke n₂ = 1
C. dari n₁ = 2 ke n₂ = 6
D. dari n₁ = 6 ke n₂ = 2
E. dari n₁ = 1 ke n₂ = 6

Jawab:
Energi foton akan terpancar, apabila elektron berpindah dari kulit luar ke kulit dalam atau dari bilangan kuantum yang lebih besar ke bilangan kuantum yang lebih kecil. Sekarang akan dicari transisi dari atom hidrogen yang memancarkan foton dengan energi yang paling rendah (tingkat dasar).
∆E = hf = E_akhir – E_awal
dari n₁ = 2 ke n₂ = 1
∆E = E_akhir – E_awal
     = (–13,6 eV/1²) – (–13,6 eV/2²) = –10,2 eV
Dari n₁ = 6 ke n₂ = 2
∆E = E_akhir – E_awal
     = (–13,6 eV/2²) – (–13,6 eV/6²) = –3,02 eV
Jadi, yang memancarkan foton dengan energi paling renda adalah dari n₁ = 2 ke n₂ = 1

Soal 2
(a) Mengapa dalam persamaan untuk menghitung energi total elektron muncul tanda negatif? (b) hitung energi total elektron atom hidrogen untuk (i) keadaan n = 1, (ii) n = 2, dan (iii) n = ~ , (c) hitung energi yang diperlukan untuk memindahkan elektron dari: (i) keadaan n = 1 ke dalam n = 2, (ii) keadaan n = 1 ke dalam n = ~ dan (d) hitung energi ionisasi hidrogen!
Jawab:
(a) Energi total harus bertanda negatif yang artinya bahwa untuk membebaskan elektron diperlukan energi.
(b) energi total atom hidrogen diberikan oleh persamaan E_n = –13,6/n² eV,
maka
(i) ketika n = 1, E_n = –13,6/1² eV = –13,6 eV

1. ii) ketika n = 2, E_n = –13,6/4² eV = –3,4 eV

iii) ketika n = ~, E_n = –13,6/~² eV = 0
(c) energi yang diperlukan, ∆E, maka
(i) keadaan n = 1 ke dalam n = 2,
 ∆E₁₂ = E₂ – E₁ = –3,4 eV – (–13,6 eV) = +10,2 eV
(i) keadaan n = 1 ke dalam n = ~,
 ∆E_1~ = E_~ – E₁ = 0 – (–13,6 eV) = +13,6 eV
(d) energi ionisasi hidrogen = ∆E_1~ = +13,6 eV

Soal 3
(a) Hitung energi total ion He⁺ untuk keadaan: (i) n = 1, (ii) n = 2, (iii) n = ~, (b) Hitung energi ionisasi keadaan helium.
Jawab:
(a) Ion He⁺ memiliki satu buah elektron seperti halnya atom hidrogen. Energi total ion H_e⁺ (Z = 2) dinyatakan oleh
E_n = –13,6 Z²/n² eV = –13,6 (2)²/n² eV
(i) keadaan n = 1
E₁ = –13,6 (2)²/1² eV = –54,4 eV
(ii) keadaan n = 2
E₁ = –13,6 (2)²/4² eV = –13,6 eV
(i) keadaan n = ~
E₁ = –13,6 (2)²/~² eV = 0
(b) perhatikan bahwa
He → He⁺ + e (energi ionisasi pertama)
He⁺ → He²⁺ + e (energi ionisasi kedua)
Jadi, energi ionisasi kedua He artinya energi yang diperlukan untuk membebaskan sebuah elektron dari ion He⁺. Dengan demikian energi ionisasi kedua adalah
∆E_1~ ion He⁺ = E_~ – E₁ = 54,4 eV

Soal 4
(a) Berapakah nilai-nilai l yang mungkin bagi n = 5? (b) berapakah nilai-nilai m_l yang mungkin bagi l = 5? (c) berapakah nilai n terkecil yang paling mungkin sehingga l dapat sama dengan 5? (d) Berapakah nilai n terkecil yang paling mungkin yang dapat memiliki komoponen z dari vektor momentum sudut orbital sama dengan 4ℏ?
Jawab:
(a) nilai-nilai l yang mungkin adalah
 l = 0, 1, 2, . . . (n – 1)
(b) Nilai-nilai m_l yang mungkin adalah
m_l = –l sampai dengan l
untuk l = 5 maka
m_l = –5 s/d +5
     = –5, –4, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, +4, +5
(c) nilai n membatasi nilai  l terbesar, sesuai dengan persamaan l = n – 1 atau n = l + 1
Untuk l = 5 maka nilai n terkecil adalah n = 5 + 1 = 6
(d) komponen z dari vektor L dinyatakan oleh persamaan
L_Z = m_l ℏ = 4ℏ (diketahui)
Bilangan kuantum m_l­ berkaitan dengan l, yaitu
m_l = –l sampai dengan +l
Jadi, supaya m_l = 4, maka haruslah nilai l = 4.
Karena l = n – 1 atau n = l + 1, maka nilai n terkecil itu adalah
n = 4 + 1 = 5

Soal 5
Hitung besar momentum sudut yang menyatakan gerak sebuah elektron dalam suatu keadaan dengan: (a) l = 1, (b) l = 2.
Jawab:
Besar momentum sudut L dihitung dengan persamaan
L = (l(l+1))² ℏ
(a) l = 1 → L = (l(l+1))² ℏ = ℏ√2
(b) l = 2 → L = (l(l+1))² ℏ = ℏ√6

Soal 6
Sebuah elektron berada pada keadaan n = 4, l = 3 dari atom hidrogen. (a) Berapakah besar vektor momentum sudut elektron? (b) berapakah banyaknya komponen z (arah medan magnetik luar) berada yang mungkin dapat dimiliki vektr momentum sudut L? (c) gambarkanlah vektor-vektor L yang mungkin tersebut, (d) tentukan sudut-sudut yang dibuat vektor L terhadap sumbu z. (e) apakah jawaban bagi (a), (b) dan (d) berubah jika bilangan kuantum utamanya n bukan 4 tetapi 5?

Jawab:
Diketahui keadaan n = 4 dan l = 3
(a) besar vektor momentum sudut, L, dihitung dengan persamaan
L = (l(l+1))² ℏ
l = 3 → L = (3(3 + 1))² ℏ = 2ℏ√3
(b)  komponen L pada sumbu z, L_Z dihitung dengan persamaan
L_Z = m_lℏ
Banyaknya nilai m_l yang mungkin dinyatakan oleh persamaan
m_l = 2l + 1 = 2 x 3 + 1 = 7
karena banyaknya nilai m_l yang mungkin adalah 7 maka sesuai persamaan L_Z = m_lℏ, banyaknya nilai L_Z berbeda yang mungkin adalah 7.
(c) untuk menggambarkan vektor L yang mungkin, mari kita hitung dahulu tiap-tiap L_z yang mungkin. Untuk itu kita tentukan dahulu nilai m_l yang mungkin untuk l = 3.
Nilai m_l yang mungkin dinyatakan oleh persamaan
m_l = –l s/d +l = –3 s/d + 3
jadi, m_l = –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3
nilai L_Z yang mungkin yaitu L_Z = m_lℏ adalah
L_Z = –3ℏ, –2ℏ, –1ℏ, 0, +1ℏ, +2ℏ, +3ℏ

SELANJUTNYA:
Langkah-langkah untuk menggambar vektor-vektor L yang mungkin adalah sebagai berikut:

1. Tetapkan skala ℏ = 1 satuan = 1 cm
2. Gambarkan setengah lingkaran yang berpusat di O dengan jari-jari sama dengan panjang L, yaitu 3,5 cm
3. Tentukan letak L_Z yang mungkin pada sumbu z (misalnya L_Z = –3ℏ = –3, L_Z = 3 cm)
4. Dari letak L_Z pada sumbu z tarik garis sejajar sumbu mendatar sampai memotong setengah lingkaran, maka vektor dengan pangkal O dan kepala di titik potong tersebut menunjukan vektor momentum sudut L.

(d) sudut-sudut yang dibuat oleh vektor L terhadap sumbu z adalah θ₃, θ₂, θ₁, 90⁰, (180⁰ – θ₁), (180⁰ – θ₂), (180⁰ – θ₃)  
Dengan demikian,
θ = [30⁰, 55⁰, 73⁰, 90⁰, 107⁰, 125⁰, 150⁰]
(e) Jika n = 5 bukan 4, maka jawaban (a), (b) dan (d) tidak berubah sebab vektor momentum sudut hanya berkaitan dengan bilangan kuantum l dan m_l dan bukan bilangan kuantum utama n.