Soal dan penyelesaian ayunan sederhana (bandul)

Soal 
Christian Huygens (1629 – 1695), pembuat jam paling terkemuka dalam sejarah, mengusulkan agar satuan panjang internasional didefinisikan sebagai panjang suatu bandul sederhana yang memiliki perode tepat 1 detik. (a) Seandainya usulnya diterima, akan seberapa pendekkah satuan panjang kita? (b) bagaimana jika Huygens dilahirkan di planet lain? Berapakah nilai g di planet lain sehingga standar meter yang diusulkan oleh Huygens akan sama panjangnya dengan satuan meter yang kita gunakan? 

Solusi:
(a) Untuk mendapatkan panjang bandul yang dimaksud, kita gunakan

atau

Maka panjang satu meter yang baru akan sedikit lebih pendek dari seperempat panjang satu meter yang digunakan sekarang. Perhatikan bahwa jumpah angka pentingnya hanya bergantung pada seberapa tepatnya kita mengetahui besar g, karena waktunya didefinisikan sebagai tepat 1 detik.

(b) kita memperoleh g dengan menggunakan persamaan

tidak ada planet dalam sistem tata surya kita yang memiliki g sebesar ini!

Soal 2
Suatu bandul sederhana bermassa 0,250 kg dan panjang 1,00 m. Bandul tersebut ditarik hingga membentuk sudut 15,0⁰ kemudian dilepaskan. Berapakah (a) kelajuan maksimum, (b) percepatan sudut maksimum, dan (c) gaya pemulih maksimumnya?

Solusi:
Gambar di bawah ini menunjukkan gaya-gaya yang bekerja pada bandul.
Amplitudo ayunan bandul adalah A = rθ = (1,00 m)(15⁰)(π/180⁰) = 0,262 m
Kecepatan sudut bandul kita peroleh dari persamaan
 

Maka
(a) v_maks = Aω = (0,262 m)(3,13 rad/s) = 0,820 m/s
(b) a_maks = Aω² = (0,262 m)(3,13 rad/s)² = 2,57 m/s²
a_tan = rα maka α = a_tan/r = 2,57 m/s²/1,00 m = 2,57 rad/s²
(c) F = ma = (0,25 kg)(2,57 m.s^-2) = 0,641 N

Soal 3
Sebuah bandul dengan panjang L, ketika diberi simpangan kecil menjalani gerak harmonik sederhana dengan periode 8 sekon. Suatu penghaang dipasang tepat di bawah titik pusat bandul (lihat gambar), sehingga hanya seperempat panjang bandul terbawah yang dapat mengayun ketika ayunan mengenai penghalang. Tentukan lama waktu yang diperlukan bandul dari A kembali lagi ke A.

Solusi:
Perode bandul T’, ketika panjang bandul L’ = NO = L/4, dapat diperoleh dengan membandingkan (T = 8s) ketika bandul berayun dengan panjang bandul MA = L.
Lama waktu dari A kembali lagi ke A adalah

t_{A – O – B – O – A}  = t_AO + t_OB + t_BO + t_OA

karena t_OA = t_AO dan t_BO = t_OB, maka t_{A – A}  = 2t_OA + 2 t_OB
Ketika bergerak dari A ke O, panjang bandung = L, perode = T sehingga

t_AO = T/4

ketika bergerak dari O ke B panjang bandung L’ = L/4 dan periode T’, sehingga

t_OB = T’/4

mari hitung T’ dengan membandingkannya dengan T. Dari rumus

Diperoleh 

Dengan demikian,

t_{A – A} = 2(T/4) + 2(T’/4) = (2/4)T + (2/4)(T/2) = 3T/4 = (3 x 8)/4 = 6 s

Soal 4

Suatu bandul sederhana panjangnya 5,00 m. (a) Nila bandul ini terletak dalam sebuah lift yang bergerak ke atas dengan percepatan 5,00 m/s², berapakah periode osilasi kecil bandul tersebut? (b) Berapakah periodenya bila lift tersebut bergerak turun dengan percepatan 5,00 m/s²? Dan (c) Berapakah periodenya bila bandul diletakkan dalam sebuah truk yang memiliki percepatan horisontal 5,00 m/s²?

Solusi:
(a) Karena lift bergerak arah vertikal maka dengan resultan gaya arah vertikal adalah

Resultan gaya pada sumbu x, T sin θ = mω²x (1)
Resultan gaya pada sumbu y, T cos θ – mg = ma (2)
Persamaan (1) dan (2) dibagi, kita peroleh
Tan θ = ω²x/(g + a) (3)
Catatan: karena θ << , maka tan θ ≈ sin θ ≈ x/L, maka persamaan (3) menjadi
x/L = ω²x/(g + a)
ω² = (g + a)/L
(2π/T)² = (g + a)/L

Maka dengan mensubtitusi nilai yang diberikan diperoleh T = 2π√3/3 detik!
(b) dengan cara yang sama dengan (a), jika lift bergerak ke bawah maka periodenya adalah

Maka dengan mensubtitusi nilai yang diberikan diperoleh T = 2π detik!
(c) pada kasus ini dari gambar kita dapatkan percepatan total pada ayunannya adalah

a_t = (g + a)^1/2
Maka periode ayunan untuk kasus ini adalah

Maka dengan mensubtitusi nilai yang diberikan diperoleh T = 4,24 detik!