Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran

         Persamaan Lingkaran merupakan materi yang ada kaitannya dengan irisan kerucut. Lingkaran adalah tempat kedudukan atau himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik yang tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan pusat lingkaran dan jarak yang tetap tersebut dinamakan jari-jari lingkaran.
.
Dari gambar di atas, titik O adalah pusat lingkaran. Titik A, B, C, D terletak pada lingkaran, maka OA = OB = OC = OD adalah jari-jari lingkaran = $r$.

Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari $ r$

       Misalkan ada titik A($x,y$) terletak pada lingkaran yang berpusat di O($0,0$) seperti gambar berikut. Jari-jarinya adalah OA ( $ OA = r $ ).

Dengan menggunakan konsep jarak dua titik dari titik O($0,0$) ke titik A($x,y$), diperoleh :
$\begin{align} |OA| & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \\ r & = \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} \\ r & = \sqrt{x^2 + y^2} \\ r^2 & = x^2 + y^2 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkaran berpusat di O($0,0$) dengan jari-jari $ r $ :
$\begin{align} x^2 + y^2 = r^2 \end{align} $

Contoh :
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat O($0,0$) dan jari-jarinya 5 !
Penyelesaian :
*). Pusatnya O($0,0$) dan $ r = 5 $
$\begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ x^2 + y^2 & = 5^2 \\ x^2 + y^2 & = 25 \end{align} $ Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ x^2 + y^2 = 25 $ .

Persamaan lingkaran dengan pusat A($a,b$) dan jari-jari $ r$

       Misalkan ada titik B($x,y$) terletak pada lingkaran yang berpusat di A($a,b$) seperti gambar berikut. Jari-jarinya adalah AB ( $ AB = r $ ).

Dengan menggunakan konsep jarak dua titik dari titik A($a,b$) ke titik B($x,y$), diperoleh :
$\begin{align} |AB| & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \\ r & = \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} \\ r^2 & = (x-a)^2 + (y-b)^2 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkaran berpusat di A($a,b$) dengan jari-jari $ r $ :
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \end{align} $

Contoh :
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (-2,1) dengan jari-jari 3 !
Penyelesaian :
*). Pusat $(a,b)=(-2,1) \, $ dan $ r = 3 $
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-(-2))^2 + (y-1)^2 & = 3^2 \\ (x+2)^2 + (y-1)^2 & = 9 \\ (x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) & = 9 \\ x^2 + y^2 + 4x - 2y + 5 & = 9 \\ x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan lingakarannya : $ x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 = 0 $

Bentuk Umum Persamaan lingkaran

Bentuk umum persamaan lingkaran adalah $ \begin{align} x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 \end{align} \, $ yang diperoleh dari persamaan lingkaran $\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \end{align} $ .
Menentukan pusat dan jari-jari liingkaran dari bentuk umumnya :
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x^2 - 2ax + a^2) + (y^2 - 2by + b^2) & = r^2 \\ x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) & = 0 \\ \text{bentuk ini sama dengan } & \\ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 \end{align} $
Sehingga diperoleh :
$\begin{align} A & = -2a \rightarrow a = -\frac{A}{2} \\ B & = -2b \rightarrow b = -\frac{B}{2} \\ C & = a^2 + b^2 - r^2 \rightarrow r^2 = a^2 + b^2 - C \\ r & = \sqrt{a^2 + b^2 - C} = \sqrt{(-\frac{A}{2})^2 + (-\frac{B}{2})^2 - C} = \sqrt{\frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} - C} \end{align} $
Jadi, Pusat lingkaran dan jari-jarinya :
Pusat : $ A(a,b) = \left( -\frac{A}{2}, -\frac{B}{2} \right) $
Jari-jari : $ r^2 = a^2 + b^2 - C \, $ atau $ r^2 = \frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} - C $

Contoh :
Dari persamaan lingkaran $ x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0 \, $, tentukan pusat dan jari-jarinya !
Penyelesaian :
*). Persamaan bentuk umumnya : $ x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0 \, $
artinya nilai $ A = -4, \, B = 6, \, $ dan $ C = -3 $
*). Menentukan pusat dan jari-jari lingkarannya.
Pusat : $ A(a,b) = \left( -\frac{A}{2}, -\frac{B}{2} \right) = \left( -\frac{-4}{2}, -\frac{6}{2} \right) = (2, -3) $
Jari-jari : $ r^2 = a^2 + b^2 - C \rightarrow r^2 = 2^2 + (-3)^2 - (-3) \rightarrow r^2 = 16 \rightarrow r = 4 $
atau cara kedua :
Jari-jari : $ r^2 = \frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} - C \rightarrow r^2 = \frac{((-4)^2}{4} + \frac{6^2}{4} - (-3) \rightarrow r^2 = 16 \rightarrow r = 4 . $
Jadi, pusat lingkaran ($ 2,-3$) dan jari-jarinya $ r = 4 $.

Pola dalam Menyusun Persamaan lingkaran

       Untuk menentukan persamaan lingkaran, kita hanya membutuhkan pusatnya ($a,b$) dan jari-jari $ r $ . Hanya saja tidak semua soal sudah lengkap ada kedua-duanya (pusat dan jari-jarinya). Berikut beberapa pola yang biasanya berkaitan dengan menyusun persamaan lingkaran.

i). Diketahui pusat lingkaran ($a,b$) dan lingkaran melalui sembarang titik ($p,q$). Untuk menentukan persamaan lingkarannya, kita butuh jari-jarinya yaitu jarak titik pusat ke titik yang dilalui. Untuk jarak dua titik, silahkan baca materi "jarak dua titik".
Jari-jarinya : $ \begin{align} r = \sqrt{(p-a)^2 + (q-b)^2} \end{align} $

Contoh :
Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki titik pusat (1,2) dan melalui titik (3, 5)!
Penyelesaian :
*). Menentukan jari-jari lingkaran (jarak titik (1,2) dan (3,5)) :
$ \begin{align} r & = \sqrt{(3-1)^2 + (5-2)^2} \\ r & = \sqrt{(2)^2 + (3)^2} \\ r & = \sqrt{13} \end{align} $
*). Menyusun persamaan lingkaran dengan pusat $(a,b)=(1,2) $ dan $ r = \sqrt{13} $
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-1)^2 + (y-2)^2 & = (\sqrt{13})^2 \\ (x-1)^2 + (y-2)^2 & = 13 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ (x-1)^2 + (y-2)^2 = 13 $

ii). Diketahui pusat lingkaran ($a,b$) dan lingkaran menyinggung garis $ mx + ny + c = 0 $ . Jari-jari lingkarannya adalah jarak titik pusat ke garis. Untuk menghitung jaraknya, silahkan baca materi "jarak titik ke garis".
Jari-jarinya : $ \begin{align} r = \left| \frac{m.a + n.b + c}{\sqrt{m^2 + n^2}} \right| \end{align} $

Contoh :
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (-1,2) dan lingkaran menyinggung garis $ y = 2x + 9 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan jari-jari lingkaran (jarak titik (-1,2) ke garis) :
garis : $ y = 2x + 9 \rightarrow 2x-y + 9 = 0 $
$ \begin{align} r & = \left| \frac{m.a + n.b + c}{\sqrt{m^2 + n^2}} \right| \\ & = \left| \frac{2x-y + 9}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \right| \\ & = \left| \frac{2.(-1)-2 + 9}{\sqrt{5}} \right| \\ & = \left| \frac{5}{\sqrt{5}} \right| \\ & = \frac{5}{\sqrt{5}} . \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \end{align} $
*). Menyusun persamaan lingkaran dengan pusat $(a,b)=(-1,2) $ dan $ r = \sqrt{5} $
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-(-1))^2 + (y-2)^2 & = (\sqrt{5})^2 \\ (x+1)^2 + (y-2)^2 & = 5 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ (x+1)^2 + (y-2)^2 = 5 $

iii). Diketahui pusat lingkaran ($a,b$) dan lingkaran menyinggung sumbu-sumbu.
*). Jika lingkaran Menyinggung sumbu X, maka jari-jarinya $ r = b $
*). Jika lingkaran menyinggung sumbu Y, maka jari-jarinya $ r = a $
*). Jika lingkaran menyinggung kedua sumbu, maka titik pusatnya ($p,p$), sehingga $ r = p $

Contoh :
1). Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki pusat (2,5) dan lingkaran menyinggung sumbu X !
Penyelesaian :
*). Lingkaran menyinggung sumbu X, artinya jari-jari : $ r = b = 5 $
*). Persamaan lingkarannya dengan pusat $(a,b) = (2,5) \, $ dan $ r = 5 $
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-2)^2 + (y-5)^2 & = 5^2 \\ (x-2)^2 + (y-5)^2 & = 25 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ (x-2)^2 + (y-5)^2 = 25 $

2). Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki pusat (-3,1) dan lingkaran menyinggung sumbu Y !
Penyelesaian :
*). Lingkaran menyinggung sumbu Y, artinya jari-jari : $ r = a = -3 $
karena jari-jari selalu positif, maka $ r = |-3| = 3 $
*). Persamaan lingkarannya dengan pusat $(a,b) = (-3,1) \, $ dan $ r = 3 $
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-(-3))^2 + (y-1)^2 & = 3^2 \\ (x+3)^2 + (y-1)^2 & = 9 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ (x+3)^2 + (y-1)^2 = 9 $

3). Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki pusat (6,6) dan lingkaran menyinggung kedua sumbu (sumbu X dan sumbu Y)!
Penyelesaian :
*). Lingkaran menyinggung kedua sumbu, artinya jari-jari : $ r = a = b = 6 $
*). Persamaan lingkarannya dengan pusat $(a,b) = (6,6) \, $ dan $ r = 6 $
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-6)^2 + (y-6)^2 & = 6^2 \\ (x-6)^2 + (y-6)^2 & = 36 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ (x-6)^2 + (y-6)^2 = 36 $

iv). Diketahui titik A($x_1,y_1$) dan titik B($x_2,y_2$) merupakan diameter suatu lingkaran. Untuk menentukan persamaan lingkarannya, kita harus menentukan titik pusat dan jari-jarinya. Titik pusat lingkaran adalah titik tengah dari titik A dan B, serta jari-jarinya adalah setengah dari panjang AB (diameter). Silahkan baca materi "menentukan titik tengah antara dua titik".
Titik Pusat : $ \begin{align} (a,b) = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \end{align} $
Jari-jari : $ \begin{align} r = \frac{1}{2}|AB| = \frac{1}{2}\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \end{align} $

Contoh :
Jika titik A(1,3) dan titik B(5,7) merupakan diameter suatu lingkaran, tentukan persamaan lingkaran tersebut!
Penyelesaian :
*).Menentukan titik pusat lingkaran ($a,b$) :
$ \begin{align} (a,b) & = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \\ & = \left( \frac{1 + 5}{2} , \frac{3 + 7}{2} \right) \\ & = (3,5) \end{align} $
*). Menentukan jari-jari lingkaran :
$ \begin{align} r & = \frac{1}{2}|AB| = \frac{1}{2}\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{(5-1)^2 + (7-3)^2} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{4^2 + 4^2} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{32} \\ & = \frac{1}{2}. ( 4 \sqrt{2} ) \\ r & = 2 \sqrt{2} \end{align} $
*). Persamaan lingkarannya dengan pusat $(a,b) = (3,5) \, $ dan $ r = 2\sqrt{2} $
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-3)^2 + (y-5)^2 & = (2\sqrt{2})^2 \\ (x-3)^2 + (y-5)^2 & = 8 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ (x-3)^2 + (y-5)^2 = 8 $

v). Lingkaran melalui tiga sebarang titik. Untuk menentukan persamaan Lingkarannya, cukup substitusi ketiga titik yang dilalui ke persamaan umum lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 \, $ sehingga terbentuk tiga persamaan. Dari ketiga persamaan tersebut, lakukan eliminasi dan substitusi untuk menentukan nilai $ A, B, \, $ dan $ C \, $ , lalu substitusi kembali nilai $ A, B, \, $ dan $ C \, $ ke bentuk umum persamaan lingkarannya.

Contoh :
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (3, -1), (5, 3), dan (6, 2) kemudian tentukan pula pusat dan jari-jari lingkaran. !
Penyelesaian :
*). Bentuk Umum persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
*). Substitusi ketiga titik yang dilalui ke bentuk umum.
$ \begin{align} (x,y) = (3,-1) \rightarrow x^2 + y^2 + Ax + By + C & = 0 \\ 3^2 + (-1)^2 + A.3 + B.(-1) + C & = 0 \\ 9 + 1 + 3A - B + C & = 0 \\ 3A - B + C & = - 10 \, \, \, \, \text{....prs(i)} \\ (x,y) = (5,3) \rightarrow x^2 + y^2 + Ax + By + C & = 0 \\ 5^2 + 3^2 + A.5 + B.3 + C & = 0 \\ 25 + 9 + 5A + 3B + C & = 0 \\ 5A + 3B + C & = - 34 \, \, \, \, \text{....prs(ii)} \\ (x,y) = (6,2) \rightarrow x^2 + y^2 + Ax + By + C & = 0 \\ 6^2 + 2^2 + A.6 + B.2 + C & = 0 \\ 36 + 4 + 6A + 2B + C & = 0 \\ 6A + 2B + C & = - 40 \, \, \, \, \text{....prs(iii)} \end{align} $
Terbentuklah 3 persamaan yaitu
$ \begin{align} 3A - B + C & = - 10 \, \, \, \, \text{....prs(i)} \\ 5A + 3B + C & = - 34 \, \, \, \, \text{....prs(ii)} \\ 6A + 2B + C & = - 40 \, \, \, \, \text{....prs(iii)} \end{align} $
*). Selesaikan ketiga persamaan tersebut dengan eliminasi dan substitusi, diperoleh nilai $ A = -8, \, B = -2, \, $ dan $ C = 12 $
Sehingga persamaan lingkarannya :
$ \begin{align} x^2 + y^2 + Ax + By + C & = 0 \\ x^2 + y^2 -8x -2y + 12 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ x^2 + y^2 -8x -2y + 12 = 0 $